人教版九年级数学下册28.2-1-3：解直角三角形 学案

28.2解直角三角形培优一知识要点：1.解直角三角形的依据：①．三边之间关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)②．锐角之间关系：∠A＋∠B＝90°.③．边角之间关系正弦函数：sinA＝余弦函数：cosA＝正切函数：tanA＝2、解直角三角形的类型：根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：（1）已知两边：①两条直角边a、b．其解法：c=，用tanA=,求得∠A，∠B=90°－∠A．②斜边和一条直角边c、a．其解法：b=，用sinA=，求得∠A，∠B=90°－∠A．（2）一边和一锐角：①一条直角边a和锐角A：∠B=90°－∠A；用tanA=,求得b=；用sinA=，求得c=．②斜边c和锐角A：∠B=90°－∠A；用sianA=,求得a=csianA；用cosA=,求得b=ccosA．3、解直角三角形的方法（口诀）：“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中．”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．二例题教学：一）利用解直角三角形求边或角例1：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，D是BC上的点，BD=10．∠ADC=60°．求AC（≈1.73，结果保留整数）．,二）构造直角三角形求线段的长度或面积例2：如图，在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求BC的长例3.如图，在四边形ABCD中，CD=2，AB=1，∠C=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积。三）解直角三角形与圆综合例4：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AO是△ABC的角平分线。以O为圆心，OC为半径作⊙O。（1）求证：AB是⊙O的切线。,（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值。（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长。　　　　　四）解直角三角形与等腰三角形的综合例5：如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=　　．例6：如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　　）A．25：9B．5：3C．D．5：3三巩固练习：,一）.选择题1.等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）．（A）（B）（C）（D）2.在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且,AB=4,则AD的长为（）．（A）3（B）（C）（D）3.如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（　　）A．B．2+C．5D．4.如图,在四边形ABCD中,AB=,BC=1,CD=,∠B=135°,∠C＝90°,则∠D等于()A.60°B.67.5°C.75°D.无法确定5.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　）A．B．C．D．6.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（　　）A．B．C．D．,7.在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）　A．45°B．60°C．75°D．105°二）、填空题1.如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为.（1题）（2题）（3题）2.如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为　　．3．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=．4.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=　　．5.如图，P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin（900-）＝_______.6.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠A＝，若BC＝4，则AB＝．7.．已知直角三角形的两直角边的比为1:7，则最小角的正弦值为__________.8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是__________.,三）简答题：1.如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接。（1）求证：；（2）如果，求的值。2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，点D在BC边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值。3、如图，在正方形ABCD中，M为AD的中点，E为AB上一点，且BE=3AE，求sin∠ECM。4.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值．,5.如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．（1）求证：AE•BC=AD•AB；（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长．6.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD2=CA•CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．,