3.2 函数的单调性与最值——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）解析版

3.2函数的单调性与最值——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题1．已知函数f(x)=1−e2xe2x+1，不等式f(x2)>f(x+2)的解集为（　　）A．(−∞，−1)∪(2，+∞)B．(−1，2)C．(−∞，−2)∪(1，+∞)D．(−2，1)【答案】B【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合【解析】【解答】解：因为f(x)=1−e2xe2x+1，所以f′(x)=−4e2x(e2x+1)2<0，所以f(x)在R上单调递减，则f(x2)>f(x+2)等价于x2<x+2，解得−1<x<2，即原不等式的解集为(−1，2).故答案为：B.【分析】根据题意对函数求导结合导函数的性质，即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出高一x的不等式，由此求解出x的取值范围进而不等式的解集。2．已知：a=e0.42，b=20.5，c=log45，则a、b、c大小关系为（　　）A．b>a>cB．a>b>cC．c>a>bD．b>c>a【答案】B【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合【解析】【解答】解：令f(x)=ex−x−1，则f′(x)=ex−1，当x>0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，+∞)上递增，所以f(0.42)>f(0)=0，即e0.42>0.42+1，又1.422=2.0164>2，所以e0.42>0.42+1>20.5，所以a>b，又(54)2=2516<2，所以20.5>54，54−log45=5−4log454=log445−log4544=log410246254>0，所以20.5>54>log45，所以a>b>c.故答案为：B.【分析】根据题意构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，由此即可笔记交出大小，从而得出答案。3．下列函数既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递减的是（　　）A．y=x4+x2B．y=e−|x|C．y=ex−e−xD．y=ln|x|【答案】B【知识点】函数的单调性及单调区间；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】【解答】对于A，令f(x)=x4+x2，f(1)=2<f(2)=20，A不符合题意；对于B，令f(x)=e−|x|，f(−x)=e−|x|=f(x)，则y=e−|x|为偶函数，当x>0时，y=e−|x|=e−x=(1e)x，则y=e−|x|在(0，+∞)上单调递减，B符合题意；对于C，f(x)=ex−e−x，f(−x)=e−x−ex≠f(x)，C不符合题意；对于D，当x>0时，y=ln|x|=lnx，y=ln|x|在(0，+∞)上单调递增，D不符合题意；故答案为：B【分析】由偶函数的定义以及指对幂函数的单调性判断即可.4．已知函数f(x)=ex−x−1，x≤0，−f(−x)，x>0，则使不等式f(lnx)>−1e成立的实数x的取值范围为（　　）A．(0，1e)B．(1e，+∞)C．(0，e)D．(e，+∞)【答案】C【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用【解析】【解答】因为f(0)=0，x>0时，f(x)=−f(−x)，因此x<0时也有f(x)=−f(−x)，即函数f(x)是奇函数，x≤0时，f(x)=ex−x−1，f′(x)=ex−1≤0，所以f(x)是减函数，所以奇函数f(x)在R上是减函数，又f(−1)=1e，所以f(1)=−f(−1)=−1e，不等式f(lnx)>−1e为f(lnx)>f(1)，所以lnx<1，0<x<e，故答案为：C．【分析】根据题意由函数的奇偶性以及单调性结合指数函数的图象和性质，即可计算出函数的取值再由函数的单调性以及对数的运算性质整理化简即可得出x的取值范围。5．已知x1+2x1=0，x2+log2x2=0，3−x3−log2x3=0，则（　　）A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2D．x2<x3<x1【答案】An【知识点】函数单调性的性质【解析】【解答】设函数f(x)=x+2x，易知f(x)在R上递增，f(−1)=−12，f(0)=1，即f(−1)f(0)<0，由零点存在定理可知．−1<x1<0；设函数g(x)=x+log2x，易知g(x)在(0，+∞)上递增，g(12)=−12，g(1)=1，即g(12)g(1)<0，由零点存在定理可知，12<x2<1；设函数h(x)=(13)x−log2x，易知h(x)在(0，+∞)上递减，h(1)=13，h(x3)=0，因为h(1)>h(x3)，由函数单调性可知，1<x3，即−1<x1<0<x2<1<x3.故答案为：A．【分析】构造函数，根据函数的单调性以及零点存在性定理，可判断出答案.6．已知函数f(x)=ln2−x−x3，则不等式f(3−x2)>f(2x−5)的解集为（　　）A．(−4，2)B．(−∞，2)C．(−∞，−2)∪(2，+∞)D．(−∞，−4)∪(2，+∞)【答案】D【知识点】函数的单调性及单调区间【解析】【解答】由题意，x∈R，f(x)=−xln2−x3，易知函数f(x)在R上单调递减（减+减），而f(3−x2)>f(2x−5)，所以3−x2⟨2x−5⇒(x−2)(x+4)⟩0⇒x∈(−∞，−4)∪(2，+∞).故答案为：D.【分析】先判断出原函数的单调性，进而解出不等式即可.7．下列函数在其定义域上单调递增的是（　　）A．y=2x−2−xB．y=x−3C．y=tanxD．y=log12x【答案】A【知识点】函数单调性的判断与证明【解析】【解答】对于A选项，因为函数y=2x、y=−2−x在R上均为增函数，故函数y=2x−2−x在R上为增函数，A选项满足要求；对于B选项，函数y=x−3在(0，+∞)上为减函数，B选项不满足要求；对于C选项，函数y=tanx在其定义域上不单调，C选项不满足要求；对于D选项，函数y=log12x在其定义域上为减函数，D选项不满足要求.故答案为：A.【分析】根据题意由函数单调性的定义，结合指数函数、对数函数、幂函数以及正切函数的单调性由此对选项逐一判断即可得出答案。8．已知a=e0.1−1，b=sin0.1，c=ln1.1，则（　　）A．a<b<cB．b<c<aC．c<a<bD．c<b<a【答案】D【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】令f(x)=ex−1−sinx，∴f′(x)=ex−cosx，当x>0时，ex>1，∴ex−cosx>0，∴f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(0.1)>f(0)，即e0.1−1−sin0.1>0，∴e0.1−1>sin0.1，即a>b，令g(x)=ln(x+1)−sinx，∴g′(x)=1x+1−cosx=1−(x+1)cosxx+1=1−xcosx−cosxx+1，令h(x)=1−xcosx−cosx，∴h′(x)=(x+1)sinx−cosx令φ(x)=(x+1)sinx−cosx，∴φ′(x)=2sinx+(x+1)cosx，当0<x<π6时，φ′(x)>0，∴h′(x)单调递增，∴h′(x)<h′(π6)=(π6+1)sinπ6−cosπ6=π+6(1−3)12<0∴h(x)在x∈(0，0.1)上单调递减，∴h(x)<h(0)=0，∴g′(x)<0，∴g(x)在x∈(0，0.1)上单调递减，∴g(0.1)<g(0)=0，即ln1.1−sin0.1<0，∴c<b综上：c<b<a.故答案为：D.【分析】由已知条件构造函数然后对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，从而比较出大小得出答案。9．已知a<b<0，则（　　）A．1a−1b>0B．sina−sinb>0C．|a|−|b|<0D．ln(−a)+ln(−b)>0【答案】An【知识点】函数单调性的性质；不等式的基本性质【解析】【解答】因为a<b<0，所以1a−1b=b−aab>0，A符合题意；当a=−2π，b=−π时，显然满足a<b<0，但sina−sinb=0，B不正确；当a=−2π，b=−π时，显然满足a<b<0，但|a|−|b|>0，C不正确；当a=−12，b=−13时，显然满足a<b<0，但是ln(−a)+ln(−b)<0，D不正确，故答案为：A【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质、正弦函数的单调性和对数函数的单调性，进而选出正确的选项。10．下列函数中，既是偶函数又在(−∞，0)上单调递增的函数是（　　）A．y=x2B．y=2|x|C．y=ln1|x|D．y=xcosx【答案】C【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【解析】【解答】对于A中，由二次函数的性质可知，函数y=x2在(−∞，0)单调递减，所以不正确；对于B中，由在(−∞，0)上函数y=2|x|单调递减，所以不正确；对于C中，由函数y=1|x|在区间(−∞，0)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数y=ln1|x|在(−∞，0)单调递增，所以是正确的；对于D中，由函数y=xcosx在区间(−∞，0)上不是单调函数，所以不正确，所以不正确，故答案为：C.【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和增函数的定义，进而判断出既是偶函数又在(−∞，0)上单调递增的函数。11．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)为偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)=4x−cosx，则下列结论正确的是（　　）A．f(40432)>f(2022)>f(40392)B．f(2022)>f(40392)>f(40432)C．f(40432)>f(40392)>f(2022)D．f(40392)>f(2022)>f(40432)【答案】A【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的周期性【解析】【解答】因为f(x+1)为偶函数，所以满足f(x+1)=f(−x+1)，又因为f(x)是奇函数，所以f(−x+1)=−f(x−1)，故f(x+1)=−f(x−1)=−[−f(x−3)]=f(x−3)因此f(x)=f(x+4)，即f(x)是以4为周期的周期函数.f(40432)=f(40432−4×505)=f(32)=f(12)，f(2022)=f(2)=f(0)，f(40392)=f(40392−4×505)=f(−12)=−f(12)当x∈[0，1]时，f(x)=4x−cosx，4x在x∈[0，1]单调递增，cosx在x∈[0，1]单调递减，故f(x)=4x−cosx在x∈[0，1]单调递增.所以f(12)>f(0)>−f(12)⇒f(40432)>f(2022)>f(40392)故答案为：A【分析】根据奇函数f(x)满足f(x+1)为偶函数可知f(x)是一个周期函数，根据f(x)=4x−cosx可判断单调性，利用周期性将自变量都转化到[0，1]上，再利用单调性即可得大小关系.12．若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(−x)=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则称函数f(x)为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（　　）①f(x)=1x，②f(x)=ln(1+x2+x)，③f(x)=1−2x1+2x，④f(x)=−x2，x⩾0x2，x<0A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【知识点】复合函数的单调性；函数奇偶性的性质【解析】【解答】由题设知：“理想函数”为奇函数且定义域内递减，①f(x)=1x为奇函数，但在整个定义域上不单调，不符合；②f(−x)=ln(1+(−x)2−x)=ln(1+x2−x)=−ln(1+x2+x)=−f(x)且定义域为R，即f(x)为奇函数，而由对数复合函数的性质知f(x)在R上递增，不符合；③由f(−x)=1−2−x1+2−x=2x−12x+1=−1−2x1+2x=−f(x)且定义域为R，即f(x)为奇函数，又f(x)=1−2x1+2x=21+2x−1，故f(x)在R上递减，符合；④由解析式知f(−x)=−f(x)显然成立且在R上递减，符合；综上③④符合.故答案为：Cn【分析】由“理想函数”为奇函数且定义域内递减，结合各项函数及奇偶性定义、指对函数和分式等函数的性质判断单调性.13．已知函数f(x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1，则对任意实数x1，x2，“x1+x2>0”是“f(x1)+f(x2)>0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】∵f(x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1，∴f(−x)=ln(−x+x2+1)+e−x−1e−x+1=ln(−x+x2+1)+1−ex1+ex，∴f(x)+f(−x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1+ln(−x+x2+1)+1−ex1+ex=ln1+0=0，∴函数f(x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1为奇函数，又f(x)=ln(x+x2+1)+ex+1−2ex+1=ln(x+x2+1)+1−2ex+1，当x>0时，函数y=ln(x+x2+1)单调递增，y=2ex+1单调递减，所以函数f(x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1在(0，+∞)上单调递增，又函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1在(−∞，+∞)上单调递增，由x1+x2>0可得x1>−x2，所以f(x1)>f(−x2)=−f(x2)，故f(x1)+f(x2)>0，由f(x1)+f(x2)>0可得f(x1)>−f(x2)=f(−x2)，所以x1>−x2，所以x1+x2>0，所以“x1+x2>0”是“f(x1)+f(x2)>0”的充要条件，故答案为：C.【分析】判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质判断x1+x2>0与f(x1)+f(x2)>0的关系，结合充分条件、必要条件的定义可得答案。14．函数f(x)在[0，+∞)单调递减，且为偶函数．若f(2)=−1，则满足f(x−3)≥−1的x的取值范围是（　　）A．[1，5]B．[1，3]C．[3，5]D．[−2，2]【答案】A【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质【解析】【解答】因为函数f(x)为偶函数，所以f(x−3)≥−1=f(2)等价于f(|x−3|)≥f(2)，因为函数f(x)在[0，+∞)单调递减，所以|x−3|≤2，−2≤x−3≤2，1≤x≤5，故答案为：A.【分析】先根据函数奇偶性以及单调性转化不等式，再解含绝对值不等式得结果.15．若函数f(x+2)为偶函数，对任意的x1，x2∈[2，+∞)，且x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，则（　　）A．f(log26)<f(32)<f(log312)B．f(log312)<f(32)<f(log26)C．f(32)>f(log26)>f(log312)D．f(log312)>f(log26)>f(32)【答案】A【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质【解析】【解答】解：由对∀x1，x2∈[2，+∞)，且x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，所以函数f(x)在[2，+∞)上递减，又函数f(x+2)为偶函数，所以函数f(x)关于x=2对称，所以f(32)=f(52)，又log26=1+log23>2，log312=1+log34>2，因为log23+1−52=log23−32=log23−log2232=log23−log28>0，所以log23+1>52，因为log34+1−52=log34−32=log34−log3332=log34−log327<0，所以log23+1<52，所以log26>52>log312>2，所以f(log26)<f(52)<f(log312)，即f(log26)<f(32)<f(log312).故答案为：A.【分析】由题意可得函数f(x)在[2，+∞)上递减，且关于x=2对称，则f(32)=f(52)，利用作差法比较log23+1，52，log34+1n三者之间的大小关系，再根据函数的单调性即可求出结果.16．函数f(x)=ex−e−x−2sinx.若4a=20，b=log510，c=logab，则有（　　）A．f(a)>f(b)>f(c)B．f(a)>f(c)>f(b)C．f(b)>f(a)>f(c)D．f(b)>f(c)>f(a)【答案】A【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】因为函数f(x)=ex−e−x−2sinx，所以f′(x)=ex+e−x−2cosx，当x>0时，f′(x)>2−2cosx≥0，所以f(x)在(0，+∞)上递增，因为a=log420>log416=2，1<b=log510<log525=2，0<c=logab<logaa=1，所以a>b>c>0，所以f(a)>f(b)>f(c)，故答案为：A【分析】先利用导数判断函数f(x)在(0，+∞)上递增，再利用对数指数运算和对数函数的性质判定a、b、c的大小关系，进而可得答案。17．已知x=2，y=e1e，z=π1π，则x，y，z的大小关系为（　　）A．x>y>zB．x>z>yC．y>x>zD．y>z>x【答案】D【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：由x=2，y=e1e，z=π1π，得lnx=12ln2，y=1elne，z=1πlnπ，令f(x)=lnxx(x>0)，则f′(x)=1−lnxx2(x>0)，当0<x<e时，f′(x)>0，当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，e)上递增，在[e，+∞)上递减，又因lnx=12ln2=14ln4，e<3<4，且e，3，4∈[e，+∞)，所以f(e)>f(3)>f(4)，即lny>lnz>lnx，所以y>z>x.故答案为：D.【分析】将x=2，y=e1e，z=π1π变为lnx=12ln2，y=1elne，z=1πlnπ，构造函数f(x)=lnxx(x>0)，利用导数判断函数的单调性，再结合lnx=12ln2=14ln4，根据函数的单调性即可求出答案.18．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a=20222021，b=20232022，c=40454043，d=e12022，下列说法正确的是（　　）A．b<a<c<dB．c<b<d<aC．b<d<c<aD．b<a<d<c【答案】C【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质【解析】【解答】根据题意，设f(x)=1+1x，易知当x>0时，f(x)=1+1x递减；a=20222021，即为f(2021)；b=20232022，即为f(2022)，所以f(2021)>f(2022)，即a>b；c−a=40454043−20222021=−18170903<0，即a>c，A不符合题意，D不符合题意；c−b=40454043−20232022=18174946>0，即c>b，B不符合题意；构造函数f(x)=ex−x−1(x>0)，所以f′(x)=ex−1>0恒成立，所以f(x)=ex−x−1在(0，+∞)单调递增，所以f(12022)=e12022−12022−1>f(0)=0，即e12022>20232022，所以d>b；故答案为：C.【分析】设f(x)=1+1x，根据单调性可判断a>b，再作差可判断a>c，c>b，再构造f(x)=ex−x−1(x>0)根据单调性可判断d>b。19．已知f(x−1)为定义在R上的奇函数，f(1)=0，且f(x)在[−1，0)上单调递增，在[0，+∞)上单调递减，则不等式f(2x−5)<0的解集为（　　）A．(2，log26)B．(−∞，1)∪(2，log26)C．(log26，+∞)D．(1，2)∪(log26，+∞)【答案】D【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质n【解析】【解答】因为f(x−1)为定义在R上的奇函数，所以f(x)的图象关于点(−1，0)对称，且f(−1)=0，又f(1)=0，所以f(−3)=0．依题意可得，当−3<x<−1或x>1时，f(x)<0．所以f(2x−5)<0等价于−3<2x−5<−1或2x−5>1，解得1<x<2或x>log26．故答案为：D【分析】由题意可得f(x)的图象关于点(−1，0)对称；进而确定函数f(x)的单调区间，及f(x)<0的解集，进而通过换元即可求解。20．已知f(x)=x2，x≥0−x2，x<0，若∀x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（　　）A．（－1，＋∞）B．(−14，+∞)C．（0，＋∞）D．(−12，1)【答案】B【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题【解析】【解答】m≥0时，f(x+2m)+mf(x)=(x+2m)2+mx2>0，符合题意；m<0时，f(x+2m)+mf(x)>0，即f(x+2m)>−mf(x)=f(−mx)，显然f(x)在R上递增，则x+2m>−mx对∀x≥1恒成立，(1−−m)x+2m>0对∀x≥1恒成立，则：1−−m>01−−m+2m>0⇒−14<m<0；综上所述，m∈(−14，+∞)。故答案为：B．【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合函数的单调性和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。二、多选题21．已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x)+f(2−x)=2，则下列结论正确的是（　　）A．f(x)的图象关于x=1对称B．f(x+4)=f(x)C．若函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(x)在区间[2021，2022]上单调递增D．若函数f(x)在区间(0，1)上的解析式为f(x)=lnx+1，则f(x)在区间(2，3)上的解析式为f(x)=ln(x−1)+1【答案】B,C【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性【解析】【解答】对于A选项，因为f(x)+f(2−x)=2，则函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，A不符合题意；对于B选项，因为f(x)+f(2−x)=2且函数f(x)为偶函数，所以，f(x)+f(x−2)=2可得f(x+2)+f(x)=2，所以，f(x+2)=f(x−2)，所以，对任意的x∈R，f(x+4)=f(x)，B对；对于C选项，因为f(x+4)=f(x)，若函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(x)在区间[2021，2022]上单调递增，C对；对于D选项，当x∈(2，3)时，2−x∈(−1，0)，x−2∈(0，1)，所以，f(x)=2−f(2−x)=2−f(x−2)=2−[ln(x−2)+1]=1−ln(x−2)，D不符合题意.故答案为：BC.【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性可判断C选项；设x∈(2，3)，利用f(x)+f(2−x)=2可判断D选项.22．已知定义在R的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)=2x−2，则（　　）A．f(log23)=1B．f(x)的值域为[−1，2]C．f(x)在[4，6]上为减函数D．f(x)在[−6，6]上有8个零点【答案】A,B【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的值；函数零点的判定定理【解析】【解答】f(log23)=2log23−2=3−2=1，所以A符合题意；当x∈[0，2]时，f(x)=2x−2是增函数，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[−1，2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[−1，2].所以B符合题意；当x∈[0，2]时，f(x)=2x−2是增函数，又函数的周期是4，所以f(x)在[4，6]上为增函数，所以C不符合题意；令f(x)=2x−2=0，∴x=1，所以f(1)=f(−1)=0，由于函数的周期为4，所以f(5)=f(−5)=0，f(3)=f(−3)=0，所以f(x)在[−6，6]上有6个零点，所以该选项错误.故答案为：ABn【分析】利用已知条件结合代入法和对数的运算法则，进而求出函数值，从而求出f(log23)的值；当x∈[0，2]时结合增函数的定义，从而判断出函数f(x)=2x−2是增函数，进而求出当x∈[0，2]时的函数的值域，由于函数是偶函数，进而求出函数的值域；当x∈[0，2]时结合函数f(x)=2x−2的单调性和函数的周期是4，从而判断出函数f(x)在[4，6]上的单调性；利用函数的零点的求解方法，令f(x)=2x−2=0，，得出函数的零点的值，所以f(1)=f(−1)=0，由于函数的周期为4，所以f(5)=f(−5)=0，f(3)=f(−3)=0，进而求出函数f(x)在[−6，6]上的零点个数，进而找出正确的选项。三、填空题23．函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x−1，则不等式f(x)>3的解集为　　.【答案】{x|x＜-1或x＞1}【知识点】函数单调性的性质；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法【解析】【解答】因为当x≥0时，f(x)=2x+2x−1单调递增，且f(1)=2×1+21−1=3，所以f(x)>3等价于f(x)>f(1).因为f(x)为偶函数，所以|x|>1，解得x<−1或x>1，即不等式f(x)>3的解集为{x|x＜-1或x＞1}故答案为：{x|x＜-1或x＞1}【分析】由已知条件结合函数的奇偶性即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，求解出x的取值范围即可得出不等式的解集。24．请写出一个函数表达式　　满足下列3个条件：①最小正周期T=π；②在[−π4，π4]上单调递减；③奇函数【答案】y=-sin2x【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的周期性【解析】【解答】根据三角函数的图象与性质，可以写出y=-sin2x，y=−tanx等函数表达式，都满足条件.故答案为：y=-sin2x（答案不唯一）【分析】根据题意由正切函数和正弦函数的图象和性质，以及函数的奇偶性、周期性由此即可得出答案。25．已知f(x)=2022x2+log2|x|，且a=f((110)−0.2)，b=f(lg12022)，c=f(4log0.26)，则a，b，c之间的大小关系是　　.（用“<”连接）【答案】c＜a＜b【知识点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判断【解析】【解答】解：函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，因为f(−x)=2022x2+log2|x|=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，因为函数y=2022x2，y=log2|x|在(0，+∞)上递增，所以函数f(x)=2022x2+log2|x|在(0，+∞)上递增，则a=f((110)−0.2)=f(100.2)，b=f(lg12022)=f(lg2022)，因为log0.26<0，所以0<4log0.26<1，1<100.2<(35)0.2=3<lg2022，所以4log0.26<100.2<lg2022，所以f(4log0.26)<f(100.2)<f(lg2022)，即c＜a＜b.故答案为：c＜a＜b.【分析】根据偶函数的定义判断出函数f(x)为偶函数，利用复合函数的单调性判断方法可得函数f(x)=2022x2+log2|x|在(0，+∞)上递增，结合对数函数的性质及f(x)的单调性即可直接比较a，b，c之间的大小.26．已知函数f(x)=x，x≤a，x3，x>a.若函数f(x)在R上不是增函数，则a的一个取值为　　.【答案】-2(答案不唯一，满足a＜-1或0＜a＜1即可)【知识点】函数的单调性及单调区间；分段函数的应用【解析】【解答】y=x和y=x3的图象如图所示：∴当a<−1或0<a<1时，y=x3有部分函数值比y=x的函数值小，故当a<−1或0<a<1时，函数f(x)在R上不是增函数．故答案为：-2．【分析】作出y=x和y=x3的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．27．已知0<a≠1，ax>logax(x>0)恒成立，则a的取值范围为　　.【答案】(e1e，+∞)【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合【解析】【解答】解：因为ax>logax，对x>0恒成立，n易知a>1时，由反函数知ax>x(x>0)恒成立，则xlna>lnx，对x>0恒成立，即lna>lnxx，对x>0恒成立，令g(x)=lnxx，则g′(x)=1−lnxx2，当0<x<e时，g′(x)>0，当x>e时，g′(x)<0，所以当x=e时，g(x)取得最大值1e，所以lna>1e，即a>e1e，所以a的取值范围为(e1e，+∞).故答案为：(e1e，+∞)【分析】根据题意整理化简已知条件再构造函数g(x)，并对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，进而得出a的取值范围。28．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)的解析式　　．①f(xy)=f(x)f(y)；②f′(x)是偶函数；③f(x)在(0，+∞)上单调递增．【答案】f(x)=x（满足条件即可）【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的判断【解析】【解答】解：如f(x)=x，f(xy)=xy，f(x)f(y)=xy，故f(xy)=f(x)f(y)，f′(x)=1是偶函数，又f(x)在(0，+∞)上单调递增，故答案为：f(x)=x（满足条件即可）【分析】举例f(x)=x验证三个性质即可。29．已知函数f(x)=loga(9−ax)，g(x)=loga(x2−ax)，若对任意x1∈[1，2]，存在x2∈[3，4]使得f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数a的取值范围为　　．【答案】(0，1)∪(1，3)【知识点】函数单调性的性质；对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】根据题意可得只需f(x1)min≥g(x2)min即可，由题可知a为对数底数且9−a2>0⇒0<a<1或1<a<3.当0<a<1时，此时f(x)，g(x)在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知f(x)在[1，2]上单调递减，g(x)在[3，4]上单调递减，所以f(x1)min=f(2)=loga(9−a2)，g(x2)min=g(4)=loga(16−4a)，所以loga(9−a2)≥loga(16−4a)⇒9−a2≤16−4a，即a2−4a+7≥0，可得0<a<1；当1<a<3时，由复合函数单调性可知f(x)在[1，2]上单调递减，g(x)在[3，4]上单调递增，所以f(x1)min=f(2)=loga(9−a2)，g(x2)min=g(3)=loga(9−3a)，所以loga(9−a2)≥loga(9−3a)⇒9−a2≥9−3a，即a2−3a≤0，可得1<a<3.综上：a∈(0，1)∪(1，3).故答案为：(0，1)∪(1，3).【分析】根据题意结合复合函数单调性的性质，增减性一致为增，不一致为减的特点，由二次函数和对数函数的单调性即可得出函数f(x)的单调性，结合函数单调性的性质即可得出不等式，求解出a的取值范围即可。30．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)+1，当x∈[0，1)时，f(x)=x3．设f(x)在区间[n，n+1)(n∈N*)上的最小值为an．若存在n∈N*，使得λ(an+1)<2n−7有解，则实数λ的取值范围是　　．【答案】(−∞，332)【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当x∈[0，1)时，f(x)=x3，因为定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)+1，f(x+1)=2f(x)+1=2x3+1，令t1=x+1，则x=t1−1，所以，当t1∈[1，2)时，有f(t1)=2(t1−1)3+1，所以，当x∈[1，2)时，f(x)=2(x−1)3+1，f(x+1)=2f(x)+1=4(x−1)3+3，令t2=x+1，则x=t2−1，t2∈[2，3)，有f(t2)=4(t2−2)3+3，所以，当x∈[2，3)时，f(x)=4(x−2)3+3，同理可得，x∈[3，4)时，f(x)=8(x−3)3+7，根据规律，明显可见当x∈[n，n+1)，f(x)=2n(x−n)n+2n−1，且此时的f(x)必为增函数，又因为an为f(x)在区间[n，n+1)(n∈N*)上的最小值，所以，a1=1，a2=3，a3=7，…an=2n−1，所以，若存在n∈N*，使得λ(an+1)<2n−7有解，则有λ<2n−72n有解，进而必有λ<[2n−72n]max，根据该函数的特性，明显可见，当n=5时，有[2n−72n]max=332，所以，此时有λ<332故答案为：(−∞，332)【分析】由x∈[0，1)时，f(x)=x3，结合f(x+1)=2f(x)+1，可求x∈[1，2)时解析式，再求x∈[2，3)和x∈[3，4)时解析式，即可得按规律得到当x∈[n，n+1)，f(x)=2n(x−n)n+2n−1，进而得到λ(an+1)<2n−7，进而可解决问题。