3.3函数的奇偶性、周期性与对称性——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）解析版

3.3函数的奇偶性、周期性与对称性——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题1．已知函数f(x−1)是偶函数，f(x+1)的图象关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）A．x=−2B．x=−1C．x=1D．x=2【答案】A【知识点】奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】因为函数f(x−1)是偶函数，所以f(x−1)的图象关于直线x=0对称，向左平移两个单位可得f(x+1)的图象关于直线x=−2对称.故答案为：A【分析】根据偶函数的图象的对称轴以及图象的平移变换可得结果.2．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（　　）A．f(x)=sinx+xB．f(x)=x−sinxC．f(x)=sinxxD．f(x)=xsinx【答案】C【知识点】奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】由图象知该函数为偶函数，排除A，B选项，由于函数y=f(x)在(0，+∞)内有零点，故排除D，故答案为：C.【分析】由函数图象分析定义域及取值情况，结合选项即可得解.3．函数f(x)=xln|x|x2+1的图象大致为（　　）A．B．C．D．【答案】A【知识点】函数奇偶性的性质；函数的图象【解析】【解答】因为f(−x)=−f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称，故排除C，D；当x=1时，f(x)=0，当0<x<1时，ln|x|=lnx<0，所以f(x)<0，排除B．故答案为：A.【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除C、D，再由函数的单调性即可排除选项B，由此得到答案。4．函数f(x)=ln|x|+1+cosx在[−π，π]上的大致图象为（　　）A．B．C．D．【答案】C【知识点】函数奇偶性的性质；函数的图象【解析】【解答】由题知f(x)的定义域为R，f(−x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，排除A；f(π)=lnπ+1−1<lne−1=0，排除B，D.故答案为：C.【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除A，再由对数函数的单调性验证即可排除选项B、D，由此得到答案。5．函数f(x)=cos(2x−2π3)−sin(2x−3π2)，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的最小值是（　　）A．π12B．5π12C．π6D．π3【答案】B【知识点】函数奇偶性的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】因为f(x)=cos(2x−2π3)−sin(2x−3π2)=−12cos2x+32sin2x−cos2xn=32sin2x−32cos2x=3sin(2x−π3)，所以g(x)=f(x+φ)=3sin(2x+2φ−π3)，而g(x)为偶函数，所以2φ−π3=π2+kπ，k∈R，即φ=512π+12kπ，而φ>0，所以φ的最小值是5π12．故答案为：B．【分析】首先由诱导公式以及两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由偶函数的性质以及正弦函数的图象和性质即可求出φ的最小值。6．若f(x)=x+a，x<0bx−1，x>0是奇函数，则（　　）A．a=1，b=−1B．a=−1，b=1C．a=1，b=1D．a=−1，b=−1【答案】C【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值【解析】【解答】易知定义域为{x|x≠0}，由f(x)为奇函数可得f(−1)=−f(1)f(−2)=−f(2)，即−1+a=−(b−1)−2+a=−(2b−1)，解得a=1b=1.故答案为：C.【分析】由奇函数的定义，代入到函数的解析式，计算出结果即可。7．已知偶函数f(x)在(−∞，0]上单调递增，且f(2)=0，则不等式xf(x−1)<0的解集为（　　）A．(−∞，−1)∪(0，3)B．(−1，0)∪(3，+∞)C．(−1，3)D．(−2，0)∪(2，+∞)【答案】B【知识点】函数奇偶性的性质；其他不等式的解法【解析】【解答】偶函数f(x)在(−∞，0]上单调递增，则f(x)在(0，+∞)上单调递减，而f(2)=0，因xf(x−1)<0，则当x>0时，f(x−1)<0⇔f(|x−1|)<f(2)，即|x−1|>2，解得x>3，当x<0时，f(x−1)>0⇔f(|x−1|)>f(2)，即|x−1|<2，解得−1<x<0，所以不等式xf(x−1)<0的解集为(−1，0)∪(3，+∞).故答案为：B【分析】由函数奇偶性，确定函数单调性，通过x>0，不等式等价于f(|x−1|)<f(2)和x<0不等式等价于f(|x−1|)>f(2)即可求解。8．若函数f(x)=x(2x−2−x)，设a=12，b=log413，c=log514，则下列选项正确的是（　　）A．f(a)<f(b)<f(c)B．f(a)<f(c)<f(b)C．f(b)<f(a)<f(c)D．f(c)<f(a)<f(b)【答案】A【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】由题可知f(x)=x(2x−2−x)(x∈R)，故f(−x)=−x(2−x−2x)=f(x)，∴函数f(x)为偶函数；易知，当x>0时，f(x)在(0，+∞)为单调递增函数；又b=log413=−log43，∴，同理，；又12=log42<log43，log54log43=lg4lg5lg3lg4=lg4⋅lg4lg5⋅lg3≥(lg4)2(lg5+lg32)2=(lg4)2(lg15)2=(lg4lg15)2>1，故12<log43<log54，故f(a)<f(b)<f(c).故答案为：A.【分析】由题意可得f(x)为偶函数，且在(0，+∞)为单调递增函数，进而可得f(b)=f(log43)，f(c)=f(log54)比较log43<log54，即可求解。9．如图为函数f(x)=xα⋅sinx，(α∈R)的部分图象，则α的值可能是（　　）A．4B．3C．2D．1【答案】D【知识点】函数奇偶性的判断；函数的值【解析】【解答】解析：由图可知f(x)为偶函数，因为sinx为奇函数，所以xα也为奇函数，排除A和C，如果α=3，即f(x)=x3⋅sinx，则f(π2)=(π2)3>2，与图不符，所以不能取3，故排除B项.故答案为：D．【分析】根据图像判断函数的奇偶性，代入特殊值，判断函数值的大小，利用排除法求解，即可得出答案。10．已知f(x)是定义在[−10，10]上的奇函数，且f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的零点个数至少为（　　）nA．3B．4C．5D．6【答案】C【知识点】函数奇偶性的判断；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】∵f(x)是定义在[−10，10]上的奇函数，∴f(0)=0，且零点关于原点对称，∴零点个数为奇数，排除选项B，D，又∵f(x)=f(4−x)∴f(0)=f(4)=0，f(−4)=−f(4)=0，∴f(−4)=f(4+4)=f(8)=0，f(−8)=−f(8)=0，∴f(x)的零点至少有0，±4，±8，5个，故答案为：C.【分析】由题意可知f(0)=0，进而根据f(x)=f(4−x)，可求f(-4)，f(4)，f(8)，f(-8)都为0，即可求解。11．已知函数f(x)满足：对任意x∈R，f(x+12)=−f(x−12)．当x∈[−1，0)时，f(x)=3x−1，则f(log390)=（　　）A．19B．−19C．1727D．−1727【答案】C【知识点】函数的周期性；对数的运算性质【解析】【解答】因为f(x+12)=−f(x−12)，则f(x+12+12)=−f(x+12−12)，即f(x+1)=−f(x)，所以f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，即T=2，所以f(log390)=f(log3109)=−f(log31027)，因为log31027∈[−1，0)，所以f(log31027)=3log31027−1=1027−1=−1727，所以f(log390)=1727，故答案为：C【分析】根据题意，分析可得f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，由此可得f(log390)=f(log3109)=−f(log31027)，结合函数的解析式计算可得答案.12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)单调递增，记a=f(log132)，b=f(2.30.3)，c=f(log210)，则a，b，c的大小关系为（　　）．A．a<b<cB．c<a<bC．b<c<aD．a<c<b【答案】A【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以a=f(log132)=f(log32)，又因为0<log32<1，1<2.30.3<2.3，log210>3，且f(x)在[0，+∞)单调递增，所以f(log32)<f(2.30.3)<f(log210)，即a<b<c，故答案为：A【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得a=f(log132)=f(log32)，结合指数函数和对数函数的单调性可得答案.13．已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减．若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是（　　）A．(110，1)B．(0，110)∪(1，+∞)C．(110，10)D．(0，110)∪(10，+∞)【答案】C【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减，所以f(x)在区间(−∞，0]上单调递增；则f(lgx)>f(1)等价于|lgx|<1，即−1<lgx<1，即lg110<lgx<lg10，解得110<x<10，即原不等式的解集为(110，10)；故答案为：C【分析】根据偶函数的对称性得f(x)到在区间(−∞，0]上单调递增，再根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，求解即可.n14．已知函数f(x)=|x|−1xln|x|，其图象大致为（　　）A．B．C．D．【答案】A【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象【解析】【解答】由f(−x)=|−x|−1−xln|−x|=|x|−1−xln|x|=−f(x)，知：f(x)关于原点对称，排除B、D；当0<x<1时，f(x)>0，排除C.故答案为：A【分析】利用排除法，首先根据解析式判断函数的对称性，再确定0<x<1时f(x)的符号，即可确定函数图象.15．下列函数中，既是偶函数又在(−∞，0)上单调递增的函数是（　　）A．y=x2B．y=2|x|C．y=ln1|x|D．y=xcosx【答案】C【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【解析】【解答】对于A中，由二次函数的性质可知，函数y=x2在(−∞，0)单调递减，所以不正确；对于B中，由在(−∞，0)上函数y=2|x|单调递减，所以不正确；对于C中，由函数y=1|x|在区间(−∞，0)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数y=ln1|x|在(−∞，0)单调递增，所以是正确的；对于D中，由函数y=xcosx在区间(−∞，0)上不是单调函数，所以不正确，所以不正确，故答案为：C.【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和增函数的定义，进而判断出既是偶函数又在(−∞，0)上单调递增的函数。16．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)为偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)=4x−cosx，则下列结论正确的是（　　）A．f(40432)>f(2022)>f(40392)B．f(2022)>f(40392)>f(40432)C．f(40432)>f(40392)>f(2022)D．f(40392)>f(2022)>f(40432)【答案】A【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的周期性【解析】【解答】因为f(x+1)为偶函数，所以满足f(x+1)=f(−x+1)，又因为f(x)是奇函数，所以f(−x+1)=−f(x−1)，故f(x+1)=−f(x−1)=−[−f(x−3)]=f(x−3)因此f(x)=f(x+4)，即f(x)是以4为周期的周期函数.f(40432)=f(40432−4×505)=f(32)=f(12)，f(2022)=f(2)=f(0)，f(40392)=f(40392−4×505)=f(−12)=−f(12)n当x∈[0，1]时，f(x)=4x−cosx，4x在x∈[0，1]单调递增，cosx在x∈[0，1]单调递减，故f(x)=4x−cosx在x∈[0，1]单调递增.所以f(12)>f(0)>−f(12)⇒f(40432)>f(2022)>f(40392)故答案为：A【分析】根据奇函数f(x)满足f(x+1)为偶函数可知f(x)是一个周期函数，根据f(x)=4x−cosx可判断单调性，利用周期性将自变量都转化到[0，1]上，再利用单调性即可得大小关系.17．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3−8，则f(x−2)<0的解集为（　　）A．(−4，0)∪(2，+∞)B．(0，2)∪(4，+∞)C．(−∞，0)∪(2，4)D．(−4，4)【答案】C【知识点】奇函数【解析】【解答】f（2−2）=f（0）=0；x−2>0即x>2时，f(x−2)=(x−2)3−8<0，x−2<2，即x<4，可得2<x<4，当x<0时，−x>0，f(x)=−f(−x)=−[(−x)3−8]=x3+8，因此x<2即x−2<0时，f(x−2)=(x−2)3+8<0，x−2<−2，所以x<0，综上，不等式的解集为2<x<4或x<0．故答案为：C．【分析】由奇函数的定义求得x<0时的函数解析式，然后分类讨论解不等式．18．已知函数f(x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1，则对任意实数x1，x2，“x1+x2>0”是“f(x1)+f(x2)>0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】∵f(x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1，∴f(−x)=ln(−x+x2+1)+e−x−1e−x+1=ln(−x+x2+1)+1−ex1+ex，∴f(x)+f(−x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1+ln(−x+x2+1)+1−ex1+ex=ln1+0=0，∴函数f(x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1为奇函数，又f(x)=ln(x+x2+1)+ex+1−2ex+1=ln(x+x2+1)+1−2ex+1，当x>0时，函数y=ln(x+x2+1)单调递增，y=2ex+1单调递减，所以函数f(x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1在(0，+∞)上单调递增，又函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)=ln(x+x2+1)+ex−1ex+1在(−∞，+∞)上单调递增，由x1+x2>0可得x1>−x2，所以f(x1)>f(−x2)=−f(x2)，故f(x1)+f(x2)>0，由f(x1)+f(x2)>0可得f(x1)>−f(x2)=f(−x2)，所以x1>−x2，所以x1+x2>0，所以“x1+x2>0”是“f(x1)+f(x2)>0”的充要条件，故答案为：C.【分析】判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质判断x1+x2>0与f(x1)+f(x2)>0的关系，结合充分条件、必要条件的定义可得答案。19．已知函数f(x)是偶函数，其导函数f′(x)的图象见下图，且f(x+2)=f(2−x)对x∈R恒成立，则下列说法正确的是（　　）A．f(−1)<f(12)<f(52)B．f(52)<f(12)<f(−1)C．f(−1)<f(52)<f(12)D．f(12)<f(−1)<f(52)【答案】D【知识点】函数奇偶性的性质；函数的单调性与导数的关系【解析】【解答】∵f(−x)=f(x)∴f(−1)=f(1)∵f(x+2)=f(2−x)∴f(52)=f(32)又由导函数的图象得，当x∈(0，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(12)<f(1)<f(32)∴f(12)<f(−1)<f(52)故答案为：D.n【分析】由偶函数得f(−1)=f(1)，由对称性得f(52)=f(32)，进而借助图像在x∈(0，2)的单调性即可求解。20．函数f(x)在[0，+∞)单调递减，且为偶函数．若f(2)=−1，则满足f(x−3)≥−1的x的取值范围是（　　）A．[1，5]B．[1，3]C．[3，5]D．[−2，2]【答案】A【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质【解析】【解答】因为函数f(x)为偶函数，所以f(x−3)≥−1=f(2)等价于f(|x−3|)≥f(2)，因为函数f(x)在[0，+∞)单调递减，所以|x−3|≤2，−2≤x−3≤2，1≤x≤5，故答案为：A.【分析】先根据函数奇偶性以及单调性转化不等式，再解含绝对值不等式得结果.二、多选题21．若函数f(x)同时具有性质：①对于任意的x，y∈R，f(x)+f(y)2≥f(x+y2)，②f(x)为偶函数，则函数f(x)可能为（　　）A．f(x)=|x|B．f(x)=ln(x+x2+1)C．f(x)=2x+12xD．f(x)=ln(|x|+1)【答案】A,C【知识点】函数奇偶性的判断【解析】【解答】解：对于B：f(−x)=ln(−x+x2+1)=ln(x+x2+1)−1=−ln(x+x2+1)=−f(x)，故f(x)=ln(x+x2+1)为奇函数，B不符合题意，A，C，D为偶函数；对于A，f(x)+f(y)2=|x|+|y|2≥|x+y|2=f(x+y2)，A对对于C，f(x)+f(y)2=12(2x+12x+2y+12y)≥12(2⋅2x+y+212x+y)=2x+y2+2−x+y2=f(x+y2)，C对对于D，x=3，y=1时，f(x)+f(y)2=ln22<ln3=f(x+y2)，D不符合题意，故答案为：AC．【分析】判断函数的奇偶性可判断B选项；利用基本不等式可判断A、C选项；代入特殊值可判断D选项。22．已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx−1，若函数g(x)=f(−x)+1的图象关于点（1，0）对称，且g(−2)<0，则（　　）A．a<0B．g(x)有3个零点C．f(x)的对称中心是(−1，0)D．12a−4b+c<0【答案】A,B,D【知识点】奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】由题设，g(x)=−ax3+bx2−cx，且g(x)+g(2−x)=0，所以ax3−bx2+cx+a(2−x)3−b(2−x)2+c(2−x)=0，整理得(3a−b)x2+2(b−3a)x+4a−2b+c=0，故3a=b4a+c=2b，可得b=3a，c=2a，故g(x)=−ax(x−1)(x−2)，又g(−2)=24a<0，即a<0，A符合题意；g(x)有3个零点，B符合题意；由g(x)+g(2−x)=f(−x)+1+f(x−2)+1=0，则f(−x)+f(x−2)=−2，所以f(x)关于(−1，−1)对称，C不符合题意；12a−4b+c=12a−12a+2a=2a<0，D符合题意.故答案为：ABD【分析】由题设，g(x)=−ax3+bx2−cx，且g(x)+g(2−x)=0，可得b=3a，c=2a，代入解析式，结合已知条件逐项进行判断，可得答案.23．若函数f(2x+1)（x∈R）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（　　）A．函数f(x)的图象关于点(1，0)对称B．2是函数f(x)的一个周期C．f(2021)=0D．f(2022)=0【答案】A,C【知识点】奇函数；函数的周期性【解析】【解答】∵函数f(2x+1)(x∈R)是奇函数，∴f(2x+1)=−f(−2x+1)，⇒f(2x+1)+f(−2x+1)=0，函数f(x)图象关于点(1，0)对称，A符合题意；∵函数f(2x+1)(x∈R)是周期为2，所以f(x)的周期为4，B不符合题意；∵函数f(2x+1)(x∈R)是周期为2的奇函数，∴f(2021)=f(4×505+1)=f(1)=0，C符合题意；f(2022)=f(4×505+2)=f(2)，无法判断f(2)的值，D不符合题意.故答案为：AC.n【分析】本题考查抽象函数的对称性与周期性，利用函数f(2x+1)(x∈R)是奇函数得到关系式f(2x+1)+f(−2x+1)=0和f(1)=0，即可逐个判断出选项.24．已知函数f(x)=lg(x2+100−x)，g(x)=21+2x，F(x)=f(x)+g(x)，则（　　）A．f(x)的图象关于(0，1)对称B．g(x)的图象没有对称中心C．对任意的x∈[−a，a](a>0)，F(x)的最大值与最小值之和为4D．若F(x−3)+x−3x−1<1，则实数x的取值范围是(−∞，1)∪(3，+∞)【答案】A,C,D【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】由题意知f(x)的定义域为R，因为f(x)+f(−x)=lg100=2，所以f(x)的图象关于(0，1)对称，A符合题意；因为g(x)的定义域为R，且g(x)+g(−x)=2，所以g(x)的图象关于(0，1)对称，B不正确；因为F(x)=f(x)+g(x)，所以F(x)的图象关于(0，2)对称，所以对任意的x∈[−a，a](a>0)，F(x)最大值与最小值之和为4，C符合题意；由F(x−3)+x−3x−1<1，得F(x−3)+x−3x−1−1=F(x−3)−2x−1<0，又F(x)在R上单调递减，且F(0)=2，所以x−3>0x−1>0或x−3<0x−1<0，解得x>3或x<1，D符合题意，故答案为：ACD.【分析】由题意知f(x)的定义域为R，因为f(x)+f(−x)=lg100=2，即可判断，A符合题意；因为g(x)的定义域为R，且g(x)+g(−x)=2，即可判断，B不正确；由F(x)的图象关于(0，2)对称，所以对任意的x∈[−a，a](a>0)，F(x)最大值与最小值之和为4，C符合题意；由已知，得F(x−3)+x−3x−1−1=F(x−3)−2x−1<0，F(x)在R上单调递减，且F(0)=2，所以x−3>0x−1>0或x−3<0x−1<0，解得x>3或x<1，判断D符合题意.25．已知函数f(x)=ln(4x2+1+2x)+x3，g(x)=f(x+1)．若实数a，b(a，b均大于1)满足g(3b−2a)+g(−2−a)>0，则下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)在R上单调递增B．函数g(x)的图象关于(1，0)中心对称C．ea−b>baD．loga(a+1)>logb(b+1)【答案】A,D【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；图形的对称性【解析】【解答】对于A，∵4x2+1>4x2=|2x|，∴4x2+1+2x>0在R上恒成立，∴f(x)定义域为R，即f(x)的定义域关于原点对称，∵f(x)+f(−x)=ln[(4x2+1+2x)(4x2+1−2x)]=ln1=0，∴f(x)为奇函数，∴函数f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，∵p(x)=x3，q(x)=4x2+1+2x，r(x)=lnx在(0，+∞)上单调递增，∴函数f(x)=r[q(x)]+p(x)在(0，+∞)上单调递增，∴函数f(x)在R上单调递增，A符合题意；对于B，∵g(x)=f(x+1)，∴g(x)+g(−2−x)=f(x+1)+f(−x−1)=f(x+1)+f[−(x+1)]=0，∴函数g(x)的图象关于点(−1，0)中心对称，B不符合题意；对于C，∵函数g(x)的图象关于点(−1，0)中心对称，∴g(a)+g(−2−a)=0，∴−g(−2−a)=g(a)，∵g(3b−2a)+g(−2−a)>0，∴g(3b−2a)>−g(−2−a)=g(a)，∵g(x)相当于f(x)向左平移1个单位，∴g(x)和f(x)单调性相同，∴函数g(x)在R上单调递增，∴3b−2a>a，∴b>a>1，∴ea−b<e0=1<ba，C不符合题意；对于D，令h(x)=ln(x+1)lnx(x>1)，∴h′(x)=xlnx−(x+1)ln(x+1)x(x+1)ln2x(x>1)，令s(x)=xlnx(x>1)，则s′(x)=lnx+1>0，∴s(x)在(1，+∞)上单调递增，∴xlnx<(x+1)ln(x+1)，∴h′(x)=xlnx−(x+1)ln(x+1)x(x+1)ln2x<0，∴h(x)在(1，+∞)上单调递减，∵b>a>1，∴h(a)>h(b)，∴loga(a+1)>logb(b+1)，D符合题意．故答案为：AD．【分析】利用已知条件结合奇函数的图象的对称性和奇函数的图象与函数的单调性的关系，进而判断出函数nf(x)在R上单调递增；利用已知条件结合中心对称的判断方法和中点坐标公式，进而得出函数g(x)的图象关于点(−1，0)中心对称；利用已知条件结合中心对称求解方法和图象的平移变换，进而判断出函数g(x)和f(x)单调性相同，从而判断出函数g(x)在R上单调递增，进而得出b>a>1，再利用指数函数的单调性，进而得出ea−b<ba；令h(x)=ln(x+1)lnx(x>1)，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数h(x)在(1，+∞)上单调递减，再利用b>a>1结合函数的单调性，得出loga(a+1)>logb(b+1)，进而找出说法正确的选项。26．已知定义域为I的偶函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且∃x0∈I，使f(x0)<0．则下列函数中符合上述条件的是（　　）A．f(x)=x2−3B．f(x)=2x+2−xC．f(x)=log2|x|D．f(x)=cosx+1【答案】A,C【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题【解析】【解答】对于A，f(x)=x2−3，定义域为R，f(−x)=(−x)2−3=x2−3=f(x)所以，f(x)为偶函数，又因为f(1)=−2<0，A符合题意对于B，f(x)=2x+2−x>0恒成立，B不符合题意对于C，f(x)=log2|x|，定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=log2|−x|=log2|x|=f(x)，所以，f(x)为偶函数，又f(12)=−1<0，C符合题意，对于D，因为−1≤cosx≤1，所以f(x)=cosx+1≥0恒成立，D不符合题意。故答案为：AC【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和增函数的性质，再结合表达式恒成立问题求解方法，进而得出符合条件的函数。三、填空题27．已知f(x)是定义为R的奇函数，当x≥0，f(x)=2x2−x，则f(−1)=　　.【答案】-1【知识点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】∵f(x)是定义为R的奇函数，∴f(−1)=−f(1)=−(2×12−1)=−1．故答案为：-1．【分析】利用奇函数的定义求出f(−1)的值。28．设函数f(x)=x+3x，x>0f(x+3)，x≤0，则f(−4)=　　，若f(a)=f(−2)，则实数a的最大值为　　．【答案】72；3【知识点】函数的周期性【解析】【解答】由题意得f(−4)=f(−1)=f(2)=2+32=72，又f(a)=f(−2)=f(1)=4，结合解析式可知a的最大值一定是正数，当x>0时，f(x)=x+3x，f(x)在(0，3)上递减，在(3，+∞)上单调递增，且f(1)=f(3)=4，若x>3，f(x)>f(3)=4，所以实数a的最大值为3，故答案为：72，3．【分析】由题意得f(−4)=f(−1)=f(2)=2+32=72，又f(a)=f(−2)=f(1)=4且f(1)=f(3)=4，根据函数周期性和单调性求得实数a的最大值.29．已知定义在R上的函数f(x)和函数g(x)满足2f(x)=g(x)−g(−x)，且对于任意x都满足f(x)+f(−x−4)+5=0，则f(2021)+f(2019)=　　．【答案】5050【知识点】奇函数；函数的周期性【解析】【解答】由题意知：f(x)定义域为R，2f(−x)=g(−x)−g(x)，可得：f(x)+f(−x)=0，f(x)为奇函数，又f(−x−4)=−f(x)−5=−f(x+4)，则f(x+4)=f(x)+5，可得：f(2021)+f(2019)=f(1+4×505)+f(−1+4×505)=f(1)+5×505+f(−1)+5×505=5050.故答案为：5050．【分析】由题意可判断f(x)为奇函数，根据f(x)+f(−x−4)+5=0得f(x+4)=f(x)+5，可计算f(2021)+f(2019).30．已知函数f(x)=2|x|+x2+a.①对于任意实数a，f(x)为偶函数；n②对于任意实数a，f(x)在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；③存在实数a，使得f(x)有3个零点；④存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥2022的解集为(−∞，−1]∪[1，+∞).所有正确命题的序号为　　.【答案】①②④【知识点】函数的单调性及单调区间；偶函数；指、对数不等式的解法；函数零点的判定定理【解析】【解答】f(−x)=2|−x|+(−x)2+a=2|x|+x2+a=f(x)，f(x)为偶函数，①正确；当x≥0时，f(x)=2x+x2+a在(0，+∞)上单调递增，再根据偶函数可得f(x)在(−∞，0)上单调递减，②正确；令f(x)=0，则2|x|+x2=−a，结合图像可知：y=2|x|+x2与y=−a至多有两个交点，则f(x)至多有两个零点，③不正确；当a=2019时，f(x)=2|x|+x2+2019，根据②可知f(x)在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，且f(−1)=f(1)=2022∴不等式f(x)≥2022的解集为(−∞，−1]∪[1，+∞)，④正确；故答案为：①②④．【分析】对于①：利用偶函数定义判断；对于②：根据单调性的性质以及偶函数的对称性判断；对于③：根据题意得2|x|+x2=−a，结合图像判断y=2|x|+x2与y=−a交点个数；对于④：a=2019，通过函数性质解不等式f(x)≥2022．31．已知定义域为R的函数f(x)，有f(−x)=f(x)且x≥0，f(x)=ex−e−x−sin2x，则f(x)>f(π4)的解集为　　．【答案】(−∞，−π4)∪(π4，+∞)【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法【解析】【解答】x≥0，f′(x)=ex+e−x−2cosx≥2ex×e−x−2cosx=2(1−cosx)≥0f(x)在[0，+∞)为增函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)>f(π4)，则|x|>π4，得x<−π4或x>π4，解集为(−∞，−π4)∪(π4，+∞)故答案为：(−∞，−π4)∪(π4，+∞)．【分析】由题意知，函数f(x)为偶函数，且x≥0时，f(x)为增函数，f(x)>f(π4)的解集转化为|x|>π4即可.32．已知函数f(x)=x+mxex−1是偶函数，则m=　　．【答案】2【知识点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】由ex−1≠0得f(x)=x+mxex−1的定义域为{x|x≠0}，则∵f(x)=x+mxex−1是偶函数，故f(-1)=f(1)，即−1+−me−1−1=1+me−1，解得m=2．此时f(x)=x+2xex−1=x(ex+1)ex−1，而f(−x)=−x(e−x+1)e−x−1=f(x)，故f(x)确为偶函数，故m=2．故答案为：2．【分析】利用偶函数的定义列式求解，即可求出m的值。33．已知函数y=f(x)是R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(2−x)=f(x)+f(2)成立，当x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，有下列命题：①f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2022)=0；②点(2022，0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心；③函数y=f(x)在[−2022，2022]上有2023个零点；④函数y=f(x)在[7，9]上为减函数；则正确结论的序号为　　．【答案】①②③【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的周期性【解析】【解答】f(2−x)+f(x)+f(2)，令x=0得f(2)=f(0)+f(2)，f(0)=0，令x=1得f(1)=f(1)+f(2)，f(2)=0，所以f(2−x)=f(x)，又f(x)是奇函数，f(x)=−f(−x)=−f(2+x)，f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，f(x)是周期函数，4是它的周期，当x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，即x1>x2时，f(x1)>f(x2)，f(x)在[0，1]是增函数，由奇函数性质知f(x)在[−1，0]上也是增函数，所以f(x)在[−1，1]上递增，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(−1)+f(0)=0，从而nf(k)+f(k+1)+f(k+2)+f(k+3)=0，k∈Z，2022−2=4×505，f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2022)=f(3)+⋅⋅⋅+f(2022)=0，①正确；f(2−x)=f(x)，则函数图象关于直线x=1对称，又函数图象关于原点对称，因此也关于点(2，0)对称，②正确；由上讨论知f(x)在[k，k+4)上有2个零点，2022×24=1011，注意f(2022)=f(−2022)=0，因此f(x)在[−2022，2022]上零点个数为2×1011+1=2023，③正确；由周期性知函数在x∈[7，9]与x∈[−1，1]时的图象相同，函数同为增函数，④错误．故答案为：①②③．【分析】由已知得出函数的周期性，然后由奇偶性与周期性、单调性定义判断．34．已知函数f(x+1)为偶函数，当x∈(0，1)时，f(x)=2−x，则f(log23)的值为　　．【答案】34【知识点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质【解析】【解答】解：因为函数f(x+1)为偶函数，所以函数f(x+1)图像关于x=0对称，所以函数f(x)图像关于x=1对称，即f(2−x)=f(x)，因为x∈(0，1)时，f(x)=2−x，所以f(log23)=f(2−log23)=f(log243)=2−log243=34.故答案为：34【分析】根据题意，分析可得函数f(x)关于直线x=1对称，由此可得f(log23)=f(2−log23)=f(log243)，结合函数的解析式计算可得f(log23)的值.35．若f(x)=g(x)⋅ln(x2−1)为奇函数，则g(x)的表达式可以为g(x)=　　.【答案】x，sinx，1x，x3，等（答案不唯一）【知识点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】由f(x)=g(x)⋅ln(x2−1)为奇函数，则有f(−x)=−f(x)即g(−x)⋅ln(x2−1)=−g(x)⋅ln(x2−1)恒成立则g(−x)=−g(x)，则g(x)为奇函数则g(x)的表达式可以为g(x)=x或g(x)=1x或g(x)=sinx等故答案为：x，sinx，1x，x3，等【分析】由已知结合奇函数的定义可求得g(x)为奇函数，结合基本初等函数的奇偶性可求出答案.