3.5指数与指数函数——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）解析版

3.5指数与指数函数——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题1．已知a=log34，b=43，c=(43)43，则a，b，c的大小关系是（　　）A．a<b<cB．a<c<bC．b<c<aD．c<b<a【答案】A【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为(43)43>(43)1=43，所以c>b，而81>64，故34>43即4<343，故log34<log3343=43，故a<b，所以a<b<c，故答案为：A.【分析】利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，可得答案。2．某大型露天体育场馆为了倡导绿色可循环的理念，使整个系统的碳排放量接近于0，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染排放量N（mg/L）与时间t的关系为N=N0e−kt（N0为最初污染物数量），如果前3个小时清除了30%的污染物，那么污染物清除至最初的49%还需要（　　）小时．A．9B．6C．4D．3【答案】D【知识点】有理数指数幂的运算性质【解析】【解答】由题意可得710N0=N0e−3k，即e−3k=710，设N0e−kt=0.49N0，则e−kt=0.49=(710)2=(e−3k)2=e−6k，所以t=6，所以污染物清除至最初的49%还需要3小时，故答案为：D【分析】由条件可得710N0=N0e−3k，即e−3k=710，然后解出e−kt=0.49方程即可.3．已知a=235，b=lg35，c=(35)0.6，则（　　）A．a<b<cB．c<b<aC．b<c<aD．c<a<b【答案】C【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】y=lgx为(0，+∞)上单调递增函数，则b=lg35<lg1=0，y=(35)x为R上单调递减函数，则c=(35)0.6<(35)0=1，且c>0由y=2x为R上单调递增函数，可得a=235>20=1，则b<c<a，故答案为：C．【分析】依据指数函数和对数函数的单调性，比较的大小即可.4．下列函数既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递减的是（　　）A．y=x4+x2B．y=e−|x|C．y=ex−e−xD．y=ln|x|【答案】B【知识点】函数的单调性及单调区间；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】【解答】对于A，令f(x)=x4+x2，f(1)=2<f(2)=20，A不符合题意；对于B，令f(x)=e−|x|，f(−x)=e−|x|=f(x)，则y=e−|x|为偶函数，当x>0时，y=e−|x|=e−x=(1e)x，则y=e−|x|在(0，+∞)上单调递减，B符合题意；对于C，f(x)=ex−e−x，f(−x)=e−x−ex≠f(x)，C不符合题意；对于D，当x>0时，y=ln|x|=lnx，y=ln|x|在(0，+∞)上单调递增，D不符合题意；故答案为：B【分析】由偶函数的定义以及指对幂函数的单调性判断即可.5．已知集合A={x|x2≤4}，B={y|y=4−2x}，则A∩B=（　　）A．∅B．[−2，2]C．[0，2)D．[−2，2)【答案】C【知识点】交集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法【解析】【解答】对于集合A={x|x2≤4}求的是x的取值范围，∴A={x|−2≤x≤2}对于集合B={y|y=4−2x}求的是y=4−2x的值域，∵2x>0，∴−2x<0，∴4−2x<4，∴0≤4−2x<2∴B={y|0≤y<2}∴A∩B=[0，2)故答案为：C．n【分析】首先由一元二次不等式的解法和指数函数的单调性即可求出x的取值范围，由此得出集合A与B，然后由交集的定义即可得出答案。6．已知x，y，z均为大于0的实数，且2x=3y=log5z，则x，y，z大小关系正确的是（　　）A．x>y>zB．x>z>yC．z>x>yD．z>y>x【答案】C【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质【解析】【解答】解：因为x，y，z均为大于0的实数，所以2x=3y=log5z=t>1，进而将问题转化为函数y=2x，y=3x，y=log5x与直线y=t>1的交点的横坐标的关系，故作出函数图象，如图，由图可知z>x>y故答案为：C【分析】根据题意由指数函数和对数函数的图象以及单调性，租出图象结合数形结合法即可得出答案。7．函数f(x)=ax−1(a>0,a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是（　　）A．y=1−xB．y=|x−2|C．y=2x−1D．y=log2(2x)【答案】A【知识点】指数函数的图象与性质【解析】【解答】函数f(x)过定点为(1,1),代入选项验证可知A选项不过A点,故答案为：A.【分析】利用指数函数的性质，得到定点A(1,1)，代入选项验证即可得结果.8．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数ICRF对计算度电成本具有重要影响．等年值系数ICRF和设备寿命周期N具有如下函数关系ICRF=0.05(1+r)N(1+r)N−1，r为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（　　）A．0.03B．0.05C．0.07D．0.08【答案】D【知识点】有理数指数幂的运算性质【解析】【解答】由已知可得0.05(1+r)10(1+r)10−1=0.13，解得(1+r)10=138，当N=20时，则ICRF=0.05(1+r)20(1+r)20−1=120×(138)2(138)2−1=1692100≈0.08.故答案为：D.【分析】由题意求得(1+r)10=138，再代入N=20化简求值即可。9．设a，b都是不等于1的正数，则“loga2＜logb2”是“2a＞2b＞2”的（　　）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由“loga2<logb2”，得1log2a<1log2b，得log2a<0log2b>0或log2a＞log2b＞0或0＞log2a＞log2b，即0<a<1b>1或a＞b＞1或0＜b＜a＜1，由2a＞2b＞2，得a＞b＞1，故“loga2<logb2”是“2a＞2b＞2”的必要不充分条件，故答案为：C．【分析】根据指数函数、对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案。10．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于0.15%．经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数y=0.05+λe−t10(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（　　）（参考数据ln2≈0.693，ln3≈1.098）A．7B．9C．10D．11【答案】A【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】【解答】由题意知：当t=0时，y=0.05+λ=0.25，解得：λ=0.2，∴y=0.05+0.2e−t10；令y=0.05+0.2e−t10<0.15，即e−t10<0.5，即−t10<ln0.5=ln12=−ln2≈−0.693，n∴t>6.93，∴所需时间t（单位：分钟）的最小整数值为7.故答案为：A.【分析】由时当t=0时，y=0.25，解得：λ=0.2；由y=0.05+0.2e−t10<0.15可解不等式求得t的范围，由此可得结果.11．已知a=30.4，b=log432，c=log550，则a，b，c的大小关系为（　　）A．c>b>aB．b>c>aC．a>c>bD．b>a>c【答案】B【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】a=30.4<312=3b=log432=log4452=52c=log550=log5(52×2)=2+log52因为0=log51<log52<log5512=12，所以2<c<52即b>c>a故答案为：B【分析】利用指数函数和对数函数的性质可得答案。12．已知幂函数f(x)的图象经过点A(3，27)与点B(t，64)，a=log0.1t，b=0.2t，c=t0.1，则（　　）A．c<a<bB．a<b<cC．b<a<cD．c<b<a【答案】B【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】【解答】设幂函数f(x)=xα，因为点A(3，27)在f(x)的图象上，所以27=3α，α=3，即f(x)=x3，又点B(t，64)在f(x)的图象上，所以64=t3，则t=4，所以a=log0.14<0，0<b=0.24<1，c=40.1>1，所以a<b<c，故答案为：B【分析】设幂函数的解析式为f(x)=xα，把点A(3，27)代入函数的解析式求得a的值，即可得到函数的解析式，求出t的值，从而比较a，b，c的大小.13．设a=0.50.2，b=log0.20.5，c=log0.50.2，则a，b，c的大小关系为（　　）A．a>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．b>c>a【答案】C【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】解：a=0.50.2>0.5=12，b=log0.20.5=log0.20.25<log0.20.2=12，c=log0.50.2>log0.50.5=1，所以c>1>a>12>b，故答案为：C.【分析】根据对数函数，指数函数的单调性，即可求解.14．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)单调递增，记a=f(log132)，b=f(2.30.3)，c=f(log210)，则a，b，c的大小关系为（　　）．A．a<b<cB．c<a<bC．b<c<aD．a<c<b【答案】A【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以a=f(log132)=f(log32)，又因为0<log32<1，1<2.30.3<2.3，log210>3，且f(x)在[0，+∞)单调递增，所以f(log32)<f(2.30.3)<f(log210)，即a<b<c，故答案为：A【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得a=f(log132)=f(log32)，结合指数函数和对数函数的单调性可得答案.15．已知a>0，则“a>2”是“aa>a2”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件nC．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】若a>2，则f(x)=ax为增函数所以f(a)>f(2)，即aa>a2即a>2⇒aa>a2当a=12时，aa=(12)12=22>a2=(12)2=14所以aa>a2⇏a>2故答案为：A【分析】根据题意，先由不等式的知识得出aa>a2的范围，再由充分必要条件的知识得出答案。16．已知函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（　　）A．2B．3C．4D．5【答案】A【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】【解答】解：根据指数函数的性质：当x=1时，f（x）取得最大值，那么x=2取得最小值，或者x=1时，f（x）取得最小值，那么x=2取得最大值．∴a+a2=6．∵a＞0，a≠1，∴a=2．故选：A．【分析】根据指数函数的单调性在定义域是要么递增，要么递减，即看求解．17．不等式(12)x≤x的解集是（　　）A．[0，12]B．[12，+∞)C．[0，22]D．[22，+∞)【答案】B【知识点】指数函数的图象与性质；幂函数的图象【解析】【解答】在同一坐标系中作出两函数y=(12)x和y=x的图象，如图所示：当(12)x=x时，解得x=12，由图象知：(12)x≤x的解集是[12，+∞)。故答案为：B【分析】在同一坐标系中作出两函数y=(12)x和y=x的图象，再利用(12)x=x结合两函数的图象，求出x的值，再利用两函数的图象求出不等式(12)x≤x的解集。18．定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(1)=0，若f(ex)≥0，则x的取值范围是（　　）A．[0，+∞)B．[0，e]C．[1，+∞)D．(−1，0]【答案】A【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；指数函数的图象与性质【解析】【解答】∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(1)=0，∴当0<x<1时f(x)<0，当x>1时f(x)>0，又∵f(x)为奇函数，∴当x<−1时，−x>1，f(−x)>0，∴f(x)=−f(−x)<0；当−1<x<0时，0<−x<1，f(−x)〈0，∴f(x)=−f(−x)〉0，又∵f(−1)=−f(1)=0，f(0)=−f(0)=0∴f(x)≥0的解集为[−1，0]∪[1，+∞)，∴由f(ex)≥0可得ex≥1或−1≤ex≤0，由指数函数的性质，−1≤ex≤0无解，ex≥1的解集为[0，+∞)，故答案为：A.【分析】根据条件可得出ex≥1或−1≤ex≤0。然后根据指数函数性质解出x的范围即可。19．若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=−f(x)，且x∈[−1，1]时，f(x)=1−x2，已知函数g(x)=|lgx|，x>0，ex，x<0，则函数h(x)=f(x)−g(x)在区间[−6，6]内的零点个数为（　　）A．14B．13C．12D．11【答案】C【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；分段函数的应用；函数的零点【解析】【解答】解：因为f(x+1)=−f(x)，所以函数y=f(x)(x∈R)是周期为2函数，因为x∈[−1，1]时，f(x)=1−x2，所以作出它的图象，则y=f(x)的图象如图所示：（注意拓展它的区间）n再作出函数g(x)=|lgx|，x>0，ex，x<0，的图象，容易得出到交点为12个．故答案为：C．【分析】由已知条件结合周期公式即可得出函数的周期值，结合对数函数和指数函数的图象，再由题意作出函数的图象，利用零点的定义由数形结合法即可得出答案。20．若函数y=ax+b−1（a>0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（　　）．A．0<a<1且b>0B．a>1且b>0C．0<a<1且b<0D．a>1且b<0【答案】C【知识点】指数函数的图象与性质【解析】【解答】y=ax+b−1，经过二、三、四象限，则其图像应如图所示：所以0<a<1，a0+b−1<0，即b<0，故答案为：C.【分析】观察出函数是一个指数型的函数，作出其图像，从图像上看出其是一个减函数，并且是有某个指数函数向下平移而得到的，即可得到答案。21．已知函数f(x)为R上的奇函数，且图象关于点(3,0)对称，且当x∈(0,3)时，f(x)=(12)x−1，则函数f(x)在区间[2013,2018]上的（　　）A．最小值为−34B．最小值为−78C．最大值为0D．最大值为78【答案】A【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的图象与性质【解析】【解答】因为函数f(x)的图象关于点(3,0)对称，所以f(6+x)=−f(−x).又函数f(x)为奇函数，所以f(6+x)=f(x)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，又函数f(x)的定义域为R，且为奇函数，故f(0)=0，f(−3)=f(3)=0，依次类推，f(3n)=0(n∈N).作出函数的大致图象，如图所示，根据周期性可知，函数f(x)在区间[2013,2018]上的图象与在区间[−3,2]上的图象完全一样，可知函数f(x)在(−3,2]上单调递减，且f(−3)=0，所以函数f(x)在区间[2013,2018]上的最小值为−34.故答案为：A.【分析】先利用奇函数的定义和对称性求出函数的周期，根据简图可得结论.22．已知a=(17) 27，b=(27) 17，c=(27) 27，则()A．B．C．D．【答案】A【知识点】指数函数的图象与性质【解析】【解答】因为y=x27在(0,+∞)单调递增，所以a<c；因为y=(27)x在(0,+∞)单调递减，所以c<b∴a<c<b；故答案为：A.【分析】根据指数函数的性质得出结果。二、多选题23．已知a=log2x，b=2x，c=3x，其中x∈(1，2)，则下列结论正确的是（　　）A．a>logbcB．ab>bcC．ab<bcD．logab<logbc【答案】C,D【知识点】指数函数的图象与性质；对数值大小的比较；对数函数的图象与性质【解析】【解答】因为x∈(1，2)，所以a∈(0，1)，b∈(2，4)，c∈(3，9)，且b<c，所以logbc>1>a，A不符合题意；因为ab∈(0，1)，bc>1，即ab<bc，B不符合题意，C符合题意；因为logab<0，logbc>0，即logab<logbc，D符合题意.故答案为：CD.【分析】由x∈(1，2)，可知a∈(0，1)，b∈(2，4)，c∈(3，9)，且b<c，再根据对数函数和指数函数的图象和性质，逐一分析即可.24．在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=loga(x−2)的图象可能是（　　）A．B．nC．D．【答案】B,D【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质【解析】【解答】当a>1时，y=ax在(−∞，+∞)单调递增且其图象恒过点(0，1)，y=loga(x−2)在(2，+∞)单调递增且其图象恒过点(3，0)，则B符合要求；当0<a<1时，y=ax在(−∞，+∞)单调递减且其图象恒过点(0，1)，y=loga(x−2)在(2，+∞)单调递减且其图象恒过点(3，0)，则D符合要求；综上所述，B、D符合要求.故答案为：BD.【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法和函数的单调性以及恒过定点的性质，进而找出两函数可能的图像。25．已知a、b分别是方程2x+x=0，3x+x=0的两个实数根，则下列选项中正确的是（　　）.A．−1<b<a<0B．−1<a<b<0C．b⋅3a<a⋅3bD．a⋅2b<b⋅2a【答案】B,D【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】函数y=2x，y=3x，y=−x在同一坐标系中的图象如下：所以−1<a<b<0，所以2a<2b，3a<3b，0<−b<−a所以−b⋅2a<(−a)⋅2b，−b⋅3a<(−a)⋅3b所以a⋅2b<b⋅2a，b⋅3a>a⋅3b故答案为：BD【分析】在同一坐标系中做出y=2x，y=3x，y=−x的图像，如图，借助图像即可求解。26．下列说法正确的是(　　)A．命题“∃x0∈R，x02+2x0+m≤0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+m>0”B．已知a∈R，则“a≤1”是“a2≤a”的必要不充分条件C．命题p：若α为第一象限角，则sinα<α；命题q：函数f(x)=2x−x2有两个零点，则¬p∨¬q为假命题D．∃x0∈(0，13)，(12)x0>log13x0【答案】A,B【知识点】全称量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的图象与性质；对数函数的值域与最值；正弦函数的零点与最值【解析】【解答】解：对于A，根据存在量词命题的否定是全称量词命题的结论易知A正确；对于B，由a2≤a得0≤a≤1，则a≤1是a2≤a的必要不充分条件，故B正确；对于C，对于命题p：当取第一象限角a=-7π4时，显然sina<a不成立，故p为假命题，对于命题q：f(-1)<0，f(0)>0，结合图像知，函数f(x)在(-1，0)上有一个零点；又f(2)=f(4)=0，则函数f(x)至少有三个零点，故q为假命题，则¬p∨¬q为真命题，故C错误；对于D，当x∈0，13时，0<12x<1，log13x>1，故不存在x0∈(0，13)，(12)x0>log13x0，故D错误.故答案为：AB【分析】根据存在量词命题与全称量词命题的关系可判断A，根据充分必要条件的定义可判断B，根据正弦函数的性质及函数的零点存在性定理，结合复合命题的判定可判断C，根据指数函数与对数函数的性质可判断D三、填空题27．已知f(x)=ax+4，x≤22x+2，x>2，则f(f(0))=　　；若函数f(x)在R上单调递增，则a的取值范围为　　．【答案】18；(0，1]【知识点】函数的值；指数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用【解析】【解答】因为f(x)=ax+4，x≤22x+2，x>2，所以f(0)=a×0+4=4，所以f(f(0))=f(4)=24+2=18，若函数f(x)=ax+4，x≤22x+2，x>2在R上单调递增，则a>02a+4≤22+2解得：0<a≤1，所以a的取值范围为(0，1]，n故答案为：18；(0，1].【分析】根据题意选择合适的函数解析式，代入数值计算出函数的值；然后由一次函数和指数函数的单调性求出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。28．函数y=ax−3+1（a>0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny−1=0上，其中m>0，n>0，则mn的最大值为　　.【答案】124【知识点】指数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：∵函数y=ax−3+1（a>0且a≠1）的图象恒过定点A，∴A(3,2)，∵点A在直线mx+ny−1=0上，∴3m+2n=1，又m>0，n>0，∴1=3m+2n≥23m×2n，∴mn≤124，当且仅当3m=2n3m+2n=1，即m=16,n=14时等号成立，所以mn的最大值为124，故答案为：124.【分析】首先把点的坐标代入到指数函数的解析式求出点A的坐标，再由点在直线上代入求出3m+2n=1，整理结合基本不等式即可求出3m=2n3m+2n=1时，取得最大值即可。29．设函数y=f(x)的图象与y=（13）x+a的图象关于直线y=−x对称，且f(−3)+f(−13)=4，则实数a=　　．【答案】2【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的图象变换【解析】【解答】函数y＝f（x）的图象与y=（13）x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入y=（13）x+a，得﹣x＝（13）−y+a，∴f（x）＝log3（-x）+a，∵f（﹣3）+f（﹣13）＝4，∴1+a﹣1+a＝4，解得a＝2．故答案为2．【分析】由函数y＝f（x）的图象与y=（13）x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，利用已知等式即可求得实数a的值.30．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：　　．①f(x1)f(x2)=f(x1+x2)；②f(x)>0；③f(x)>f(x)．【答案】e2x（底数大于e的指数函数均可）【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数单调性的应用【解析】【解答】由①可知函数f(x)是指数函数，由②可知函数f(x)单调递增，又(ax)′=axlna>ax，故只要a>e即可．故答案为：e2x（底数大于e的指数函数均可）【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，再结合函数的单调性和函数的值域，从而找出满足要求的函数。31．已知函数f(x)=x2+2x−1,x≤03x+m,x>0在R上存在最小值，则m的取值范围是　　.【答案】[﹣3，+∞）【知识点】二次函数的性质；指数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】解：当x≤0时，f（x）＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2≥﹣2，即有x＝﹣1时，取得最小值﹣2，当x＞0时，f（x）＝3x+m递增，可得f（x）＞1+m，由题意可得1+m≥﹣2，解得m≥﹣3，故答案为：[﹣3，+∞）．【分析】讨论当x≤0时，当x>0时，运用二次函数的单调性和指数函数的单调性，可得f（x）的范围，由题意即可得到所求m的范围．32．函数y=3x+a3x+1在(0,+∞)内单调递增，则实数a的取值范围是　　.【答案】(-∞,4]【知识点】指数函数单调性的应用【解析】【解答】当a<0时，在(0,+∞)上，f(x)=3x单调递增，g(x)=a3x+1单调递增，即y=3x+a3x+1n单调递增，符合题意；当a=0时，y=3x在(0,+∞)内单调递增，符合题意；当a>0时，y=3x+1+a3x+1−1≥2(3x+1)⋅a3x+1−1=2a−1，∴若a−1≤1，0<a≤4时，等号不成立，此时y在(0,+∞)内单调递增，符合题意；若a−1>1，a>4时，若当且仅当x=log3(a−1)时等号成立，此时y在(log3(a−1),+∞)内单调递增，不符合题意，综上所述，当a∈(−∞,4]时，函数y=3x+a3x+1在(0,+∞)内单调递增。故答案为：(-∞,4]。【分析】利用分类讨论的方法结合增函数的定义，再结合均值不等式求最值的方法，再利用函数y=3x+a3x+1在(0,+∞)内单调递增，进而求出实数a的取值范围。33．若函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是　　．【答案】(1，e2e)【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】【解答】由题意知：f(x)=ax与y=x2的图像在(1，+∞)上恰有两个交点考查临界情形：y=a0x与y=x2切于x0，a0x0=x02a0x0lna=2x0⇒a0=e2e⇒a∈(1,e2e)．故答案为：(1,e2e).【分析】f(x)=ax在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2]，等价转化为f(x)=ax与y=x2的图像在(1，+∞)上恰有两个交点，考虑相切状态可求a的取值范围.34．已知函数f(x)=a2x−6+m(a>0,a≠1)的图象恒过定点P(n,2)，则m+n=　　.【答案】4【知识点】指数函数的图象与性质【解析】【解答】令2x−6=0,∴x=3.所以n=3.当x=3时，y=a0+m=m+1=2,∴m=1.所以m+n=4.故答案为：4【分析】令2x−6=0，即得x和n的值，把x=3代入原函数即得m的值，即得解.