4.1导数的概念及其运算——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）及答案

4.1导数的概念及其运算——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题1．已知抛物线：，则使得经过点过点，点，和抛物线在处的切线斜率相等，且和坐标轴相切的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．曲线݈在点处的切线的倾斜角为，则香䁫的值为（）A．B．C．D．3．曲线在点过点，处的切线与直线垂直，则的值为（）A．-1B．0C．1D．24．已知函数过cos，过，）在处的切线斜率为，则sincos（）A．B．C．D．5．实数点，，点，满足：ln点点，，则过点过点的最小点值为（）A．0B．C．D．86．已知函数过在过，上有两个零点，则m的取值范围是（）A．过，B．过，C．过，D．过，7．若存在lim过，过，，则称lim过，过，为二元函数过，在点过，处对的偏导数，记为过，；若存在lim过，过，，则称过，过，为二元函数过，在点过，处对的偏导数，记为过，，lim已知二元函数过，过䁖，䁖，则下列选项中错误的是（）A．过点，B．过点，点点C．过，݈过，݈的最小值为D．过，的最小值为8．定义满足方程过过点的解叫做函数过的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是n（）点A．过B．过C．过lnD．过sin9．若直线点点与直线过点是曲线ln的两条切线，也是曲线e的两条切线，则点点的值为（）点A．e点B．0C．-1D．点e10．过平面内一点作曲线݈两条互相垂直的切线点、，切点为点、（点、不重合），设直线点、分别与轴交于点、，则下列结论正确的个数是（）①点、两点的横坐标之积为定值；②直线点的斜率为定值；③线段的长度为定值；④三角形面积的取值范围为过，点．A．1B．2C．3D．411．已知函数过cos过点过䁖，，在处的切线斜率为，若过在过，上只有一个零点，则的最大值为（）点点A．B．C．2D．12．已知函数过是定义在R上的奇函数，且过䁖过点，则函数过的图象在点过，过处的切线的斜率为（）A．-21B．-27C．-24D．-2513．若曲线ln点在点（1，2）处的切线与直线䁖点平行，则实数a的值为（）A．－4B．－3C．4D．314．曲线在点过点，处的切线方程为（）A．B．C．D．15．一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式䁫过，则当点时，该质点的瞬时速度为（）A．5米/秒B．8米/秒C．14米/秒D．16米/秒16．若点P是曲线ln上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（）A．B．C．D．n点17．设函数过在上存在导函数'过，过的图象在点过点，过点处的切线方程为，那么过点'过点（）A．1B．2C．3D．4二、多选题18．吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V），过쳌为r（V）的导函数．已知r（V）在쳌上的图象如图所示，若쳌点쳌，则下列结论正确的是（）过点过过过点A．点点B．'过点䁖'过C．过쳌点쳌过쳌点过쳌过쳌D．存在쳌过쳌，쳌，使得过쳌过쳌点点쳌쳌点19．已知䁖＞，＞，直线䁖与曲线点点相切，则下列不等式成立的是（）A．䁖点B．点D．䁖C．䁖䁖三、填空题cos20．函数过的图象在处切线的倾斜角为．21．已知函数过过，则过.22．已知过点（为自然对数的底数），过ln点，请写出过与过的一条公切线的方程．23．已知函数过䁖，写出一个同时满足下列两个条件的过：.①在[点，上单调递减；②曲线过过点存在斜率为-1的切线.24．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为过过点点ͳ，其中为时的值.假定，那么在点时，GDP增长的速度大约是（.单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：点.点点.，当取很小的正数时，ln过点25．已知直线l是曲线点与ln点的公共切线，则l的方程为.26．已知函数过ln，则过在点处切线斜率为．过过过点过点过27．若曲线ln过点在点过点，ln处的切线与直线ln䁖平行，则䁖.n28．过点过点，引曲线：䁖䁖的两条切线，这两条切线与轴分别交于，两点，若，则䁖．29．已知倾斜角为的直线与曲线݈点相切，则直线的方程是.30．已知函数过（e为自然对数的底数），过点过，作曲线过的切线有且只有两条，则实数.31．已知函数过过点，则过．䁖32．若曲线过点过䁖在点过点，过点处的切线斜率为2，则䁖．四、解答题33．定义在过，上的函数过过䁫ݔ݈.（1）当时，求曲线过在点过，处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；（2）将过的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列݈，若过点过，求的值.点34．已知函数过䁖cossin．（1）当䁖点时，求曲线过在点过，过处的切线方程；（2）若函数过在[，上单调递减，求a的取值范围．35．已知函数过e݈过．当m＝1时，曲线过在点过，过处的切线与直线x－y＋1＝0垂直．（1）若过的最小值是1，求m的值；（2）若过点，过点，过过过点是函数过图象上任意两点，设直线AB的斜率为k．证明：方程过在过点，上有唯一实数根．36．已知函数过过䁖点（1）若函数过的图象在区间[0，1]上存在斜率为零的切线，求实数a的取值范围；（2）当䁖点时，判断函数过零点的个数，并说明理由.ln37．已知函数过．点点（1）求曲线过在点过，过处的切线方程；（2）设过过有两个不同的零点点，，求证：点䁖．n䁖38．已知函数过．点（1）若曲线过在点过，过处的切线斜率为点，求䁖的值；（2）若过在过点，上有最大值，求䁖的取值范围.䁖39．已知函数过过䁖点ln䁖（1）若䁖点，求曲线过在点处的切线方程；（2）若过在（1，）上恒成立，求a的值.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】B14．【答案】B15．【答案】C16．【答案】A17．【答案】C18．【答案】B,D19．【答案】A,C20．【答案】21．【答案】-222．【答案】y=rx-1或y=xn23．【答案】过（答案不唯一）24．【答案】0.5225．【答案】y=ex-1或y=x26．【答案】227．【答案】28．【答案】29．【答案】x-y-2+ln2=030．【答案】31．【答案】232．【答案】-233．【答案】（1）解：当䁫ݔ݈，过䁫ݔ݈过香䁫，故点时，过过过䁫ݔ݈.点曲线过在点过，处的切线的斜率为过，点曲线过在点过，处的切线方程为过，令，.所以切线与轴的交点过，.点点点此时所求三角形的面积为.点点（2）解：过䁫ݔ݈过香䁫当时，过香䁫过䁖݈.由函数䁖݈在区间过，上递增，且值域为，故存在唯一过，，使得䁖݈.此时当时，过，过单调递减；当时，过䁖，过单调递增，因此点.同理，存在唯一'过，，使得䁖݈''.'此时当时，过䁖，过单调递增；当'时，'.过，过单调递减，因此䁫ݔ݈点点由过点，点䁖݈点，过点香䁫香䁫点香䁫.点点n䁫ݔ݈点同理：过香䁫.香䁫香䁫点由过点过，整理得：过香䁫点香䁫过点香䁫.点香䁫又点，故香䁫点香䁫点，则有香䁫点香䁫香䁫过由，故点或点过.又点䁖݈点䁖݈，当点时，不满足，舍去.所以过，即，则点䁖݈点䁖݈.点点综上所述，.点34．【答案】（1）解：当䁖点时，过cossin点过cossin点，所以切点为过，点，过点sincos，∴过点sincos，所以曲线过在点过，过处的切线的斜率为过，所以曲线过在点过，点处的切线的斜率切线方程为过点过，即点.点（2）解：由过䁖cossin，得过点䁖sincos因为函数过在[，上单调递减，可得过对任意[，恒成立，设过过点䁖sincos，则过点䁖cossin.因为过点䁖sincos，所以使过对任意[，恒成立，则至少满足过，即点䁖，解得䁖点.下证明当䁖点时，过恒成立，因为[，，所以sin，因为䁖点，所以过点sincos.记过点sincos，则过点cossin点sin过.当过，时，过；n当过，时，过䁖.所以函数过在[，上单调递减，在过，上单调递增.因为过，过点，所以过在[，上的最大值为过.即过过点sincos在[，上恒成立.所以a的取值范围为[点，.35．【答案】（1）解：由题知，过的定义域为R，过e݈，当m＝1时，过e݈，∵当m＝1时，曲线过在点过，过处的切线与直线x－y＋1＝0垂直∴n＋1＝－1，∴n＝－2，∴过e，过e当时，过，过在过，上单调递减又过点，∴当䁖时，过点，不合题意．点当䁖时，令过，解得ln，当䁖点时，点时，ln过䁖，过单调递增；当ln过，过单调递减，点∴过min过ln点点又过点，当时，过䁖点，∴ln，∴m＝2过过点ee点（2）证明：点点令过过eee点，则过e䁖点∴过单调递增又过e点ee点e点[e过点过点，点点点点过eee点e[e过点过点，点点点令过e点，则过e点令过，解得x＝0，∴当䁖时，过䁖，过单调递增，当时，过，过单调递减，∴过min过，∴当时，e点䁖n∵，点∴过点，过点∴e过点过点点䁖，e过点过点点䁖e点e又䁖，䁖点点∴过点，过䁖∴过在过点，上有唯一零点∴方程过在过点，上有唯一实数根．36．【答案】（1）解：依题意，方程过过䁖点点在区间[0，1]上有解，即䁖点点在区间[0，1]上有解，记过点，则函数过区间[0，1]上单调增，其值域为[，点故实数a的取值范围是[，.点（2）解：过过点点令过点点点点在过，点上单调递增，在（1，∞）上单调递增，点点过<0，过䁖过点.点点.点点，过䁖，根据零点存在性定理可知，过在过，点，过点上各有一个零点，即原函数有2个零点.37．【答案】（1）解：由题意，过点ln，则点，过点过，点点点所以函数过在点过，过处的切线方程为过过，即.（2）证明：设点䁖䁖，由题意，过点过，所以ln点点，ln，可得ln点ln过点，ln点ln过点，要证明点䁖，只需证ln点ln䁖，即过点䁖，ln点lnln点ln因为，所以可转化为证明䁖，点点点点过点点，则䁖点，即证ln䁖过点即ln䁖，令，点点n过点点过点令过ln过䁖点，则过䁖，点过点过点过点点所以函数过在过点，上是增函数，所以过䁖ln点，点点过点即ln䁖得证，所以点䁖.点䁖38．【答案】（1）解：函数过的定义域为点，点点过䁖䁖点过，过点过点䁖由已知可得过点，解得䁖点.䁖点（2）解：因为过，令过䁖点过䁖点.过点①当䁖时，对任意的䁖点，过䁖点恒成立，则过，此时函数过在过点，上单调递减，没有最大值；②当䁖点时，过䁖点在过点，上单调递减，则过过点，则过，此时函数过在过点，上单调递减，没有最大值；③当䁖䁖点时，方程䁖点的两根分别为䁖䁖点，䁖䁖点，点由䁖䁖点可知点点䁖，列表如下：过点，䁖䁖点䁖䁖点过䁖䁖点，过0过增极大值减所以函数过在䁖䁖点处取得最大值，综上所述，实数䁖的取值范围是过点，.点点39．【答案】（1）解：因为过݈，所以过点，过点，又过点，所以曲线过在点处的切线方程为（2）解：过定义域为过，，点ln䁖䁖䁖点䁖过䁖点过䁖因为过过䁖，所以过䁖若䁖，则过䁖恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增.故当过点，时，过䁖过点，不合题意，舍去；点点若点䁖，则䁖点，所以当过，，䁖过，，时，过；当过䁖䁖n点点䁖，时：过䁖，则f（x）的单调递减区间为过，䁖和过，，单调递增区间为过䁖䁖点䁖，，䁖点故当过点，时，过䁖过点，不合题意；䁖过点若䁖点，则过，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减.故当过点，时，过过点，符合题意；点点点若䁖点，则点䁖，所以当过，过䁖，时，过：当过，，䁖䁖䁖点点䁖时，过䁖，则f（x）的单调递减区间为过，和过䁖，，单调递增区间为过，䁖䁖䁖故当过点，䁖，过䁖过点，不合题意综上所述：䁖点