4.1导数的概念及其运算——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）解析版

sin4.1导数的概念及其运算——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）所以䁪.因为sincos点，tan，cos一、单选题点则解得sin，cos，点䁪点䁪1．已知抛物线：，则使得经过点过点，点，和抛物线在处的切线斜率相等，且和点故coscossin过过.点䁪点䁪쳌坐标轴相切的点有（）故答案为：B.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【知识点】导数的几何意义；直线与圆的位置关系【分析】求得ln的导数，可得切线的斜率，由两角的余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式和同角【解析】【解答】，，所以抛物线在点处切线的斜率点的基本关系式，计算可得所求值.点点点3．曲线在点过点，䁪处的切线与直线䁪垂直，则的值为（）所以直线MP斜率为，直线MP方程为点过点即A．-1B．0C．1D．2点设圆心过，【答案】C当与轴相切时，有过点过点点点【知识点】导数的几何意义整理得：点䁪，쳌䁟䁪【解析】【解答】设过，则过，直线䁪的斜率为点，故该方程的解有2个，即与轴相切的点有2个过点点由题意可得，解得.过点点䁪点当与轴相切时，有过点过点点故答案为：C.整理得：点䁪쳌䁪，过点䁪点쳌䁟䁪䁟䁪故该方程的解有2个，即与轴相切的点有2个【分析】由已知条件列出方程组，求解方程组，即可解得c的值.综上，符合这样条件的点有4个4．已知函数过cos，过䁪，）在处的切线斜率为䁟，则sincos（）䁪쳌䁪䁪故答案为：D쳌쳌A．B．C．D．쳌쳌쳌쳌【答案】D点【分析】由导数的几何意义易求直线MP方程，设圆心过，当与轴相切时，通过直线与圆【知识点】导数的几何意义位置关系可得点䁪，即可求a，同理通过与轴相切时，求a，即可求解。䁟【解析】【解答】由题意得过sin，过䁪，），则sin䁪，sin䁪쳌쳌2．曲线݈在点处的切线的倾斜角为，则香䁫的值为（）过sincos点过，而䁪过䁪，，故sin䁟䁪，cos䁪，䁪䁪쳌쳌䁪䁪A．B．C．D．쳌쳌쳌쳌쳌sin䁪cos䁪쳌，【答案】B故答案为：D【知识点】导数的几何意义；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系点【解析】【解答】根据已知条件，过，因为曲线ln在点处的切线的倾斜角为，【分析】求出原函数的导函数，得到函数在䁪处的导数值，由已知可得sin䁪，求出过sin䁪cos䁪쳌所以tan过点点，的值，再由䁪过䁪，可求出答案.n5．实数点，，点，满足：ln点点䁪，䁪，则过点过点的最小值为（）故答案为：D.点A．0B．C．D．8【答案】D【分析】原问题等价于函数过与函数过过点有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系；点到直线的距离公式斜率，再结合函数特征，求出m的取值范围即可.【解析】【解答】由ln点点䁪，则点ln点，又䁪，点点过䁪，䁪过䁪，䁪过䁪，䁪过䁪，䁪7．若存在lim，则称lim为二元函数过，在点过䁪，过点过点的最小值转化为：䁪䁪处对的偏导数，记为过，；若存在lim过䁪，䁪过䁪，䁪，则称lim过䁪，䁪过䁪，䁪ln过䁟䁪上的点与䁪上的点的距离的平方的最小值，䁪䁪䁪䁪䁪由ln，得：点，为二元函数过，在点过过，，已知二元函数过，䁪，䁪处对的偏导数，记为䁪䁪与䁪平行的直线的斜率为1，过䁟䁪，䁟䁪，则下列选项中错误的是（）点点∴点，解得点或（舍，可得切点为过点，点，A．过点，切点到直线䁪之间的距离的平方，即为过点过点的最小值，B．过点，点䁪䁟。过点过点的最小值为：过点点点C．过，݈过，݈的最小值为故答案为：D.D．过，的最小值为【分析】由ln点点䁪，则点ln点，再利用䁪，过过的最小值转【答案】B点点点点化为：ln过䁟䁪上的点与䁪上的点的距离的平方的最小值，由ln，再利用导【知识点】导数的运算数的几何意义和两直线平行斜率相等的判断方法，进而得出与䁪平行的直线的斜率，再利用已知条【解析】【解答】因为过，（䁟䁪，䁟䁪），件得出切点的横坐标，再结合代入法得出切点的纵坐标，进而得出切点的坐标，再利用点到直线的距离公式得所以过，lim过䁪，䁪过䁪，䁪，则过点，，出切点到直线䁪之间的距离的平方，进而得出过的最小值。䁪䁪䁪䁪䁪点过点又过，lim过䁪，䁪过䁪，䁪，所以过点，쳌，6．已知函数过在过䁪，上有两个零点，则m的取值范围是（）䁪䁪䁪䁪䁪因为过，݈过，݈݈݈݈݈过݈点点，A．过䁪，B．过䁪，C．过，D．过，点点所以当݈时，过，݈过，݈取得最小值，且最小值为，【答案】D【知识点】导数的运算过，过，点【解析】【解答】解：函数过在过䁪，上有两个零点，等价于过与过过令过（䁟䁪），过，有两个不同的交点，过恒过点过点'过过点，所以当䁪时，过䁪，当䁟时，过䁟䁪，，䁪，设过与过相切时切点为过，，因为过点，则切线方程为点点切线斜率为过点过，当切线经过点过，䁪时，解得点或故过min过，（舍），此时切线斜率为，由函数图象特征可知：函数过在过䁪，上有两个零点，则从而当时，过，取得最小值，且最小值为.实数的取值范围是过，.故答案为：B.n【解析】【解答】由e和ln互为反函数可知，【分析】根据条件求出'过䁪，䁪、'过䁪，䁪，然后可逐一判断ABC，过，过，两条公切线点点和也互为反函数，点点点点点然后利用导数求出右边的最小值即可.即满足，，即点点，，点点点点点8．定义满足方程过过点的解䁪叫做函数过的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（）设直线点点与e和ln分别切于点过点，e点和过，ln，点A．过B．过点可得切线方程为e点e点过点和ln过，C．过lnD．过sin整理得：e点e点e点和点点lne点点，e点过点点ln，，则点点点【答案】D点点点【知识点】导数的运算由e点，得点lnln，且点过点点点ln，【解析】【解答】对于A选项，过，则过，由过过点，点过点点点点则点点点，所以点，点即䁪，点点䁟䁪，因此，过存在“自足点”，A满足条件；点点点点所以点点点点点点过点点点过点点过点点过点点点点点点点点点对于B选项，过，则过点，由过过点点，点过点点过点点点，点可得点䁪，其中䁪，令过点，则过䁟䁪，过点点䁟䁪，故答案为：C点点所以，函数过在过，点上存在零点，即函数过存在“自足点”，B选项满足条件；【分析】利用e和ln互为反函数推得两条公切线点点和也互为反函数，结合点对于C选项，过ln，则过，其中䁟䁪，点点点导数的几何意义表示出点e点，点e点过点点点ln，进而化简可得，代入点点点因为过点过点点，故函数过ln存在“自足点”，C选项满足条件；对于D选项，过sin，则点化简可得答案.过cos，由过sincos䁪，10．过平面内一点作曲线݈两条互相垂直的切线点、，切点为点、（点、不重合），设直线点、过sincos点，可得分别与轴交于点、，则下列结论正确的个数是（）因为sin点，cos点，①点、两点的横坐标之积为定值；②直线点的斜率为定值；③线段的长度为定值；④三角形所以，sincos过点sin过点cos䁟䁪，所以，方程sincos䁪无实解，D选项不满足条件.面积的取值范围为过䁪，点．故答案为：D.A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】求出每个选项中函数'过，判断每个选项中方程过过点是否有解，由此可得合适的选项.【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性9．若直线点点与直线过点是曲线ln的两条切线，也是曲线e的两条切线，ln，䁪点【解析】【解答】因为݈，则点点的值为（）ln，点A．e点B．0C．-1D．点所以，当䁪点时，点；当点时，点，点e【答案】C不妨设点点、的横坐标分别为点、，且点，【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程点点点䁟䁪，不合乎题意；若䁪点点时，直线点、的斜率分别为点、，此时点点点n点点点点点若䁟点点时，则直线点、的斜率分别为点、，此时点䁟䁪，不合乎题意.A．B．C．2D．点点点点【答案】C所以，䁪点点或䁪点点，则点，，点【知识点】导数的几何意义；正弦函数的零点与最值点由题意可得点点，可得点点，点【解析】【解答】依题意，过sin过，则过䁪sin，即sin，而䁪，若点点，则点；若点，则点点，不合乎题意，所以，䁪点点，①对；解得，对于②，易知点点过点，ln点、过，ln，点lnln点ln过点因此，过cos过点，由过䁪得：cos过，又过䁪，，有过，，所以，直线点的斜率为点䁪，②对；点点쳌点因过在过䁪，上只有一个零点䁪，于是得，解得，对于③，直线点的方程为ln点过点，令䁪可得点ln点，即点过䁪，点ln点，点所以的最大值为2.点直线的方程为ln过，令䁪可得ln点ln点点，即点过䁪，ln点点，故答案为：C所以，过点ln点过点ln点，③对；点点ln点点点【分析】求出函数f(x)的导数，利用导数的几何意义求出φ，再由零点条件列出不等式，求解可得答案.对于④，联立点可得点点，点ln点点12．已知函数过是定义在R上的奇函数，且过过点，则函数过的图象在点过，过令过，其中过䁪，点，则过过点䁟䁪，处的切线的斜率为（）点过点A．-21B．-27C．-24D．-25所以，函数过在过䁪，点上单调递增，则当过䁪，点时，过过䁪，点，【答案】A点点所以，点过䁪，点，④错.【知识点】函数奇偶性的性质；导数的几何意义点故答案为：C.【解析】【解答】过是奇函数，过过点过过点恒成立，所以䁪，【分析】设点点、的横坐标分别为点、，且点，讨论（1）䁪点点时，由导数的几何意义可过过点，过过点，得点点点䁟䁪，不合乎题意；（2）䁟点时，由导数的几何意义可得点点所以过点过点，过点，即过，点、，此时点点、点点点过过点．点点点，此时点䁟䁪，不合乎题意.进而判断得到䁪点点或䁪点点，进而有点，点点故答案为：A．点，由两切线垂直即可判断①；由①的结论即可判断②；对于③，先求得A，B两点坐标，由两点距离公【分析】利用函数的奇偶性求解函数的解析式，求出函数的导数，然后求解切线的斜率.点13．若曲线ln点在点（1，2）处的切线与直线点䁪平行，则实数a的值为（）式即可判断；对于④，联立两切线方程求得P点横坐标，通过求导确定范围，再结合即A．－4B．－3C．4D．3可判断。【答案】B11．已知函数过cos过点过䁟䁪，䁪，在䁪处的切线斜率为，若过在过䁪，【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系上只有一个零点䁪，则的最大值为（）【解析】【解答】'点'，点，n所以，。由ln，则'，故答案为：B令'点，解得点或（舍去），【分析】利用已知条件结合导数的几何意义和两直线平行斜率相等的性质，进而得出实数a的值。故点P的坐标为过点，，14．曲线在点过点，䁪处的切线方程为（）点A．B．쳌쳌C．D．故点P到直线的最小值为：。【答案】B故答案为：A.【知识点】导数的几何意义【解析】【解答】因为쳌点，所以曲线在点过点，䁪处的切线的斜率为点쳌，当x=1【分析】设平行于直线且与曲线ln相切的切线对应切点为过，，再利用导数的时，y=0，切点坐标为（1，0）.故所求切线方程为쳌쳌.几何意义和两直线平行斜率相等的性质，得出切点的横坐标，再结合代入法得出切点的纵坐标，从而得出切点故答案为：B的坐标，再结合几何法和点到直线的距离公式得出点P到直线的最小值。点17．设函数过在上存在导函数'过，过的图象在点过点，过点处的切线方程为，那么过点【分析】由导数的几何意义即可求解。'过点（）15．一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式䁫过，则当点A．1B．2C．3D．4时，该质点的瞬时速度为（）【答案】CA．5米/秒B．8米/秒C．14米/秒D．16米/秒【知识点】导数的几何意义【答案】C点쳌点【解析】【解答】解：由题得过点点，过点，【知识点】导数的几何意义쳌点【解析】【解答】解：由题得䁫过点过，所以过点'过点.当点时，䁫点，故答案为：C故当点时，该质点的瞬时速度为14米/秒．故答案为：C【分析】由切点在切线上可得f(1)，由导数的几何意义可得'过点，即可求解。二、多选题18．吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为（rV），过쳌为（rV）的导函数．已知（rV）在䁪쳌【分析】由导数的几何意义即可求解。上的图象如图所示，若䁪쳌点쳌，则下列结论正确的是（）16．若点P是曲线ln上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（）过点过䁪过过点A．点䁪点A．B．C．D．쳌B．'过点䁟'过【答案】AC．过쳌点쳌过쳌点过쳌【知识点】导数的几何意义；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；点到直线的距离公式过쳌D．存在쳌过쳌，쳌，使得过쳌䁪过쳌点【解析】【解答】设平行于直线且与曲线䁪点쳌ln相切的切线对应切点为过，，쳌点n【答案】B,D，即时取“=”，由点点点当且仅当得，，所以当，时，过max【知识点】导数的几何意义，C符合题意；过点过䁪过过点【解析】【解答】解：A：设tan，tan，由图得䁟，所以tan䁟tan，所以点䁪点点点对于D，由点，＞䁪，＞䁪得，䁪，点过，点，而函数在R上单调递增，过点过䁪过过点䁟，所以该选项错误；点䁪点因此，，D不正确.B：由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得过点䁟过，所以该选项正确；故答案为：ACC：设쳌쳌点쳌过쳌点过쳌过，因为过过䁪䁟过过，所以点䁪，쳌，过过，过，所以该选项错误；【分析】利用导数的几何意义，求出a，b的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答.过䁟三、填空题过쳌D：过쳌点表示过쳌，过쳌，过쳌，过쳌两点之间的斜率，过쳌表示过쳌，过쳌处切线的斜率，쳌点点䁪䁪䁪20．函数过cos的图象在䁪处切线的倾斜角为．쳌点由于쳌䁪过쳌点，쳌，所以可以平移直线使之和曲线相切，切点就是点，所以该选项正确.【答案】故答案为：BD【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角【解析】【解答】由过cos求导得：sincos，则过过䁪点，过点过䁪过过点【分析】设tan，tan，由图得䁟，可判断A正误；根据图像和导数的几何意点䁪点cos所以函数过的图象在䁪处切线斜率为-1，倾斜角为。义得过，可判断C正误；结合图像和导数的几何过点䁟过，可判断B正误；设쳌点䁪，쳌，过䁟故答案为：。意义可以判断D的正误。19．已知＞䁪，＞䁪，直线与曲线点点相切，则下列不等式成立的是（）【分析】利用已知条件结合导数的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，再结合直线的斜率与倾斜角的关A．点B．点D．䁟䁟C．系式，进而得出切线的倾斜角。【答案】A,C21．已知函数过过䁪，则过䁪.【知识点】导数的几何意义；基本不等式【答案】-2【解析】【解答】设直线与曲线点点相切的切点为过䁪，䁪，【知识点】导数的运算【解析】【解答】由函数过过䁪求导得：过过䁪，当䁪时，过䁪过䁪点，由点点求导得：点，则有䁪点点，解得䁪点，解得过䁪点，因此，䁪点，即点，而＞䁪，＞䁪，因此，过，所以过䁪.点点点点对于A，过䁟，当且仅当时取“=”，A符合题意；故答案为：-2点点点对于B，过过䁟，当且仅当，即时取“=”，【分析】求出导函数，然后令x=0，即可求出f'(0)，可得，进而求出过䁪的值.B不正确；22．已知过点（为自然对数的底数），过ln点，请写出过与过的一条公切线的方对于C，因过过过，则有过，即，程．n【答案】y=rx-1或y=x【分析】根据函数的单调性，切线的斜率以及函数解析式的形式求出满足条件的函数的解析式即可.【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程24．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为过䁪过点点䁪䁖，其中䁪为䁪时的值.假定䁪，那么在点䁪时，GDP增长的速度大约是.（单位：【解析】【解答】设公切线与过相切于点过，点，与过相切于点过݈，ln݈点，亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：点.点点䁪.쳌，当取很小的正数时，ln过点过，过点，公切线斜率点；݈【答案】0.52点公切线方程为：点过或ln݈点݈过݈，【知识点】变化的快慢与变化率整理可得：过点点或点【解析】【解答】由题可知过过点点䁪䁖点.点，ln݈，݈所以过点.点ln点.点，点ln݈݈，即过点点ln݈，所以过点䁪点.点点䁪ln点.点.쳌䁪.点䁪.쳌点䁟䁪.쳌，过点点ln݈即GDP增长的速度大约是0.52..过点点过点过点䁪，解得：点或䁪，故答案为：0.52.公切线方程为：y=rx-1或y=x。故答案为：y=rx-1或y=x。【分析】由题可得GDP增长的速度为过点.点ln点.点，进而即得.25．已知直线l是曲线点与ln点的公共切线，则l的方程为.【分析】利用已知条件结合求导的方法求函数在切点处的切线方程的方法和公切线的定义，进而求出两函数f(x)【答案】y=ex-1或y=x和g(x)的一条公切线方程。【知识点】导数的几何意义23．已知函数过，写出一个同时满足下列两个条件【解析】【解答】设与曲线点相切于点过，点，与曲线݈点相切于点过，݈1），的过：.①在[点，上单调递减；②曲线过过点存在斜率为则点݈，整理得过点过点䁪，解得点或䁪，-1的切线.【答案】过（答案不唯一）当点时，的方程为点；当䁪时，的方程为.【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性故答案为：y=ex-1或y=x.【解析】【解答】若过同时满足所给的两个条件，则过䁪对[点，恒成立，解得：【分析】设出切点坐标，求解切线方程，利用两条曲线的切线方程相同，转化求解出的方程.过min，即，26．已知函数过ln，则过在点处切线斜率为．点且过点在[点，上有解，即在[点，上有解，由函数的单调性可解得：【答案】2点【知识点】导数的几何意义点.【解析】【解答】点点过点，过点点.所以点.点故答案为：2则过（答案不唯一，只要过满足过（点即可）故答案为：过【分析】求出原函数的导数，得到函数在点处的导数值，即可得答案。n过过过点过点过27．若曲线ln过点在点过点，䁟ln处的切线与直线平行，故答案为。ln则.【答案】【分析】利用已知条件设出切点坐标，再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线方程，再利用，得出两切线的斜率互为相反数，再结合两点求斜率公式，进而得出实数a的值。【知识点】导数的几何意义；导数的运算【解析】【解答】由题意知，令过，则29．已知倾斜角为쳌的直线与曲线݈点相切，则直线的方程是.过过过点过点过【答案】x-y-2+ln2=0过ln过点，䁟䁪，ln【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程过点过点过点点过点点过点过点ln过点䁟ln，点ln点【解析】【解答】因为直线的倾斜角为쳌，所以点过点，䁟ln在曲线过上，所以直线的斜率为1，[过过过点过点过过쳌쳌点쳌点䁪，点点将曲线݈点求导，[过过过点过点过点过쳌点쳌䁪쳌䁟点点点，点得，过䁟䁪，点过ln，过ln过，点点点点令点，可得，点[ln过点点点点，所以切点坐标为过，ln，点过䁪所以过点，过所以直线：ln，又曲线在点过点，䁟ln处的切线与直线平行，即x-y-2+ln2=0，所以.故答案为：x-y-2+ln2=0.，得故答案为：.【分析】由倾斜角为쳌可知，直线的斜率为1，将曲线݈点求导，令导数等于1，可求切点坐标，再用点斜式方程写出直线即可.【分析】令y=f(x)，将x=1代入f(x)可知点过点，䁟ln在曲线y=f(x)上，利用求导公式和运算法则求出f'(1)=-3，30．已知函数过（e为自然对数的底数），过点过䁪，作曲线过的切线有且只有两条，则实数结合题意可得，即可解得a的值..28．过点过点，䁪引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于，两点，若【答案】，则．【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性【答案】䁪点【解析】【解答】设切点为过䁪，，由过可得过，䁪【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程，䁪处的切线的斜率为点䁪所以在点过䁪䁪过䁪，䁪【解析】【解答】设切点坐标为过，，，，即䁪，点䁪点䁪所以切线为：过䁪，䁪䁪解得t=0或t=，两切线的斜率互为相反数，即2a+6过䁪，解得。n因为切线过点过䁪，，所以䁪点䁪(1)=1，进而可求出f(x)的解析式，进而得出f(2)的值.过䁪，䁪䁪32．若曲线过点过䁪在点过点，过点处的切线斜率为2，则．即䁪，䁪【答案】-2设过，过，过【知识点】导数的几何意义；导数的运算由过䁟䁪可得䁪，由过䁪可得：䁪或䁟，过点，解得：．【解析】【解答】∵过，∴过点所以过在过，䁪和过，上单调递减，在过䁪，上单调增，故答案为：-2．过䁪䁪，过，当x趋近于时，过趋近于0，若只能作两条切线，则与过图象有两个交点，【分析】由导数的几何意义即可求解。四、解答题在同一坐标系中作出与过的图象，如图所示：33．定义在过，上的函数过过䁫ݔ݈.由图知：.（1）当时，求曲线过在点过，䁪处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；故答案为：（2）将过的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列݈，若过点过䁪，求的值.䁫ݔ݈，过䁫ݔ݈过香䁫，故点【答案】（1）解：当时，过过过䁫ݔ݈.，䁪，得到切线方程䁪点䁪䁪【分析】设切点为过䁪䁪䁪䁪过䁪，再由切线过过䁪，，得到䁪，䁪处的切线的斜率为点曲线过在点过过，点䁪过䁪，䁪，由题意转化为与过图象有两交点求解.点䁪䁪曲线过在点过，䁪处的切线方程为过，31．已知函数过过点，则过．令䁪，.所以切线与轴的交点过䁪，.点点【答案】2点【知识点】导数的运算此时所求三角形的面积为点点.【解析】【解答】解：因为过过点，（2）解：过䁫ݔ݈过香䁫所以过过点，当时，过香䁫过݈.所以过点过点，由函数݈在区间过，上递增，且值域为，解得过点点，所以过，故存在唯一䁪过，，使得݈䁪䁪.所以过，此时当时，䁪过䁪，过单调递减；故答案为：2当䁪时，过䁟䁪，过单调递增，因此点䁪.同理，存在唯一'过，，使得݈''.【分析】求出导函数为f′(x)䁪䁪䁪=3x2−2f′此时当'时，䁪过䁟䁪，过单调递增；(1)x，然后即可求出f′当'时，'.䁪过䁪，过单调递减，因此䁪n由过䁪，݈，过䁫ݔ݈点香䁫点.因为过䁪䁪点sin䁪cos䁪䁪，点点点点香䁫点点香䁫点䁫ݔ݈点所以使过䁪对任意[䁪，恒成立，同理：过香䁫.香䁫香䁫则至少满足过䁪䁪，即点䁪，解得点.点由过点过䁪，整理得：过香䁫点香䁫过点香䁫䁪.点香䁫下证明当点时，过䁪恒成立，又点，故香䁫点香䁫点，则有香䁫点香䁫香䁫过因为[䁪，，所以sin䁪，由，故点或点过.因为点，所以过点sincos.又点݈点݈，当点时，不满足，舍去.记过点sincos，则过点cossin点sin过.所以过，即，则点݈点݈.点点当过䁪，时，过䁪；综上所述，.当过，时，过䁟䁪.【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；正切函数的单调性所以函数过在[䁪，上单调递减，在过，上单调递增.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及点斜式，再结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角因为过䁪䁪，过点䁪，函数相等的角的关系即可求解.所以过在[䁪，上的最大值为过䁪䁪.点34．已知函数过cossin．即过过点sincos䁪在[䁪，上恒成立.（1）当点时，求曲线过在点过䁪，过䁪处的切线方程；所以a的取值范围为[点，.（2）若函数过在[䁪，上单调递减，求a的取值范围．【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【答案】（1）解：当点时，过点【解析】【分析】（1）将点代入得过点cossincossin，进而求的切点的坐标，再利用导数的几点何意义及点斜式即可求解；过䁪䁪䁪cos䁪sin䁪点，所以切点为过䁪，点，过点sincos，∴过䁪䁪点sin䁪cos䁪䁪，（2）根据已知条件将问题转化为过䁪对任意[䁪，恒成立，进而转化为求函数最值问题，设过所以曲线过在点过䁪，过䁪处的切线的斜率为过䁪䁪，过点sincos，利用导数法求函数的最值即可求解.35．已知函数过e݈过䁪．当m＝1时，曲线过在点过䁪，过䁪处的切线与直线x－y＋1＝0所以曲线过在点过䁪，点处的切线的斜率切线方程为垂直．过点䁪过䁪，即点䁪.（1）若过的最小值是1，求m的值；点（2）解：由过cossin，得（2）若过点，过点，过过过点是函数过图象上任意两点，设直线AB的斜率为k．证明：方过点sincos程过在过点，上有唯一实数根．因为函数过在[䁪，上单调递减，可得过䁪对任意[䁪，恒成立，【答案】（1）解：由题知，过的定义域为R，过e݈，设过过点sincos，则过点cossin.当m＝1时，过e݈，n∵当m＝1时，曲线过在点过䁪，过䁪处的切线与直线x－y＋1＝0垂直【解析】【分析】（1）由题知函数过的定义域为R，再利用分类讨论的方法和导数的几何意义以及两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出n的值，从而得出过e，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函∴n＋1＝－1，∴n＝－2，∴过e，过e点数的单调性，进而得出函数的最小值，再利用过䁪点结合当䁪时，过䁟点，所以ln䁪，进而结当䁪时，过䁪，过在过，上单调递减合指数与对数互化公式得出实数m的值。又过䁪点，∴当䁟䁪时，过点，不合题意．ee点点（2）利用已知条件结合两点求斜率公式得出，再结合导数的运算法则得出过当䁟䁪时，令过䁪，解得ln，点ee点点点过e，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合函数的当䁟ln时，过䁟䁪，过单调递增；当ln时，过䁪，过单调递减，点点零点与方程的根的等价关系，再利用函数过在过点，上有唯一零点，从而证出方程过在过点，上∴过min过ln点有唯一实数根。点又过䁪点，当䁪时，过䁟点，∴ln䁪，∴m＝236．已知函数过过点过过点ee点（2）证明：（1）若函数过的图象在区间[0，1]上存在斜率为零的切线，求实数a的取值范围；点点令过过eee点，则过e䁟䁪（2）当点时，判断函数过零点的个数，并说明理由.点【答案】（1）解：依题意，方程过过点点䁪在区间[0，1]上有解，即点在区间[0，∴过单调递增1]上有解，记过点，则函数过区间[0，1]上单调增，其值域为[䁪，点又过e点ee点e点[e过点过点，点点点点故实数a的取值范围是[䁪，点过eee点e[e过点过点，.点点点点令过e点，则过e点（2）解：过䁪点䁪过点令过䁪，解得x＝0，令过点点点点∴当䁟䁪时，过䁟䁪，过单调递增，当䁪时，过䁪，过单调递减，在过，点上单调递增，在（1，∞）上单调递增，∴过min过䁪䁪，∴当䁪时，e点䁟䁪点点∵䁪，点过<0，过䁪䁟䁪∴过点䁪，过点䁪过点.点点.点点䁪，过䁟䁪，根据零点存在性定理可知，∴e过点过点点䁟䁪，e过点过点点䁟䁪过在过，点，过点上各有一个零点，即原函数有2个零点.e点e又䁟䁪，䁟䁪点点【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理∴过点䁪，过䁟䁪【解析】【分析】（1）由题意可将问题转换成点在区间[0，1]上有解，构造函数过点，∴过在过点，上有唯一零点求导，确定单调性，求得值域，即可求解；∴方程过在过（2）由题意，问题转换成点点，求导确定单调性，借助点，上有唯一实数根．点䁪过点解的个数，构造函数过点【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；直线的一般式方程与零点存在性定理即可求解。直线的垂直关系；函数的零点与方程根的关系37．已知函数过ln．n点点点（1）求曲线过在点过，过处的切线方程；（2）解：因为过，令过点过䁟点.过点（2）设过过有两个不同的零点，求证：䁟．①当䁪时，对任意的䁟点，过点䁪恒成立，则过䁪，点，点【答案】（1）解：由题意，过点ln，则点，过点此时函数过在过点，上单调递减，没有最大值；过，点点点②当䁪点时，过点在过点，上单调递减，则过过点䁪，则过䁪，所以函数过在点过，过处的切线方程为过过，即䁪.此时函数过在过点，上单调递减，没有最大值；（2）证明：设点䁟䁟䁪，由题意，过点过䁪，③当䁟点时，方程点䁪的两根分别为点，点，点所以ln点点䁪，ln䁪，由䁟点可知䁪点点，列表如下：可得ln点ln过点，ln点ln过点，过点，点点过点，要证明点䁟，只需证ln点ln䁟，即过点䁟，过0ln点lnln点ln因为，所以可转化为证明䁟，点点点过增极大值减点过点点，则䁟点，即证ln䁟过点即ln䁟，令点，所以函数过在点处取得最大值，点过点点过点综上所述，实数的取值范围是过点，.令过ln过䁟点，则过䁟䁪，点过点过点过点点【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上所以函数过在过点，上是增函数，所以过䁟ln点䁪，点点某点切线方程过点即ln䁟得证，所以点䁟.点【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值（2）求出导函数，令过点过䁟点.通过䁪，䁪点，䁟点讨论二次函数的正负区'点点【解析】【分析】（1）求导，计算过和过，再由点斜式代入写出切线方程；间，从而确定f(x)的单调性，从而解决问题。（2）设点䁟䁟䁪，由题意得ln点ln过点，ln点ln过点，将证明点䁟转化为39．已知函数过过点ln点过点点，即证ln䁟过点过点证明ln䁟，令点，令过ln点过䁟点，求导判断单调性即可证（1）若点，求曲线过在点处的切线方程；点明.（2）若过䁪在（1，）上恒成立，求a的值.点点38．已知函数过．【答案】（1）解：因为过݈，所以过点，过点，点又过点䁪，所以曲线过在点处的切线方程为（1）若曲线过在点过，过处的切线斜率为点，求的值；（2）解：过定义域为过䁪，，（2）若过在过点，上有最大值，求的取值范围.点ln点过点过因为过过，所以过【答案】（1）解：函数过的定义域为点，点若䁪，则过䁟䁪恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增.点过点过，过点过点故当过点，时，过䁟过点䁪，不合题意，舍去；쳌由已知可得过点，解得点.n点点点若点䁪，则䁪点，所以当过䁪，，过，，时，过䁪；当过，点点时：过䁟䁪，则f（x）的单调递减区间为过䁪，和过，，单调递增区间为过，，点故当过点，时，过䁟过点䁪，不合题意；过点若点，则过䁪，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减.故当过点，时，过过点䁪，符合题意；点点点若点，则䁪点，所以当过䁪，过，时，过䁪：当过，，时，点点过䁟䁪，则f（x）的单调递减区间为过䁪，和过，，单调递增区间为过，故当过点，，过䁟过点䁪，不合题意综上所述：点【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；（2）求定义域，求导，对进行分类讨论，求解不同取值范围下函数的单调性，进而确定符合题意的a的值.