2.2 基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)解析版

2.2基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)一、单选题1．（2022·嘉兴模拟）若，，则“”是“”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式【解析】【解答】解：当时，，当且仅当，即时，取等号，所以，当时，，此时，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由，，可得，根据基本不等式得，反之代入特殊值即可得到答案.2．（2022·武汉模拟）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（　　）A．B．C．6D．9【答案】A【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；圆的标准方程【解析】【解答】由圆的方程知：圆心；直线过圆的圆心，；（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故答案为：A.【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得，由，利用基本不等式可求得结果.3．（2022·鞍山模拟）已知正实数a、b满足，则的最小值是（　　）A．B．C．5D．9【答案】B【知识点】基本不等式【解析】【解答】，当且仅当时等号成立.故答案为：B.【分析】根据题意可得，再利用基本不等式求出的最小值。4．（2022·南宁模拟）已知，，命题，命题，则p是q的（　　）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：因为，，由，得，则，当且仅当，即，时取等号，因此；因为，，由，可取，，则，，此时，因此，n所以p是q的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】首先整理化简原式，再由基本不等式计算出最值，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。5．（2022·宁乡模拟）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（　　）A．B．C．D．【答案】D【知识点】基本不等式【解析】【解答】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则，，，∴，。故答案为：D.【分析】利用已知条件结合平均速度的求解方法，再结合均值不等式求最值的方法，进而得出。6．（2022·开封模拟）设，，则“”是“”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式【解析】【解答】先证充分性成立，，，，，得，则，当且仅当时等号成立，所以“”是“”的充分条件；再证必要性不成立，由，，，即令，，得成立，但，所以“”是“”的不必要条件；综上，“”是“”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】利用基本不等式，再结合充分条件、必要条件的定义进行判断，可得答案。7．（2022·宁德模拟）已知点E是△ABC的中线BD上的一点（不包括端点）.若，则的最小值为（　　）A．4B．6C．8D．9【答案】C【知识点】基本不等式；向量数乘的运算及其几何意义【解析】【解答】因是的中线，则，依题意，，则有，又，且不共线，因此，，即，，所以，当且仅当，即取“=”，所以的最小值为8.故答案为：C【分析】因为点E在线段BD上，则由向量共线定理可设：，然后根据平面向量基本定理表示出向量，由此求出x，y，然后根据基本不等式即可求解出答案.8．（2022·许昌模拟）已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（　　）A．-4B．4C．8D．-8【答案】Bn【知识点】二次函数在闭区间上的最值；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由于二次函数（）的值域为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立。故答案为：B【分析】由于二次函数（）的值域为，再结合二次函数的图象的开口方向和判别式法，进而得出，再利用均值不等式求最值的方法，进而得出的最小值。9．（2022·德阳三模）已知直线经过圆的圆心，则的最小值是（　　）A．2B．8C．4D．9【答案】D【知识点】基本不等式；直线和圆的方程的应用【解析】【解答】圆的圆心为(0，1)，∵直线经过圆的圆心，∴，，当且仅当，即时取“等号”，∴的最小值是9，故答案为：D【分析】由直线经过圆心，可得，再由，结合基本不等式即可求解。10．（2022·云南模拟）已知的三个内角分别为、、.若，则的最大值为（　　）A．B．C．D．【答案】B【知识点】基本不等式；余弦定理【解析】【解答】依题意，由余弦定理得，，所以，当且仅当时等号成立.即为锐角，，，，所以的最大值为.故答案为：B【分析】利用余弦定理化简已知条件，再用余弦定理表示cosB，结合基本不等式求得cosB的取值范围，从而求得tanB的取值范围，也即求得tanB的最大值.11．（2022·安康三模）在中，角、、的对边分别为、、，若，的面积为，则的最小值为（　　）A．16B．C．48D．【答案】C【知识点】基本不等式；余弦定理n【解析】【解答】因为且，则，因为，所以，，由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为48.故答案为：C.【分析】直接利用三角形的面积公式求出，进一步利用余弦定理和基本不等式求出答案.12．（2022·河南模拟）若，，且，则（　　）A．B．C．D．【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故，即，当且仅当，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即，所以，又因为，所以，，故。故答案为：A．【分析】令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，则，再结合对数的运算法则，所以，再利用，所以，再结合，进而得出a，b的值，从而得出a+b的值。13．（2022·潍坊二模）已知正实数a，b满足，则a+2b的最大值为（　　）A．B．C．D．2【答案】B【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】因为，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以，即，所以，即，因为为正实数，所以，因此，a+2b的最大值为，此时。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出a+2b的最大值。二、多选题14．（2022·泰安模拟）已知a，，，且，则下列说法正确的为（　　）A．ab的最小值为1B．C．D．【答案】B,C【知识点】对数的运算性质；基本不等式【解析】【解答】因为，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，又，所以，当且仅当时等号成立，Ab的最大值为1，A不符合题意，，当且仅当时等号成立，B对，，当且仅当时等号成立，C对，，当且仅当，时等号成立，D不符合题意，故答案为：BC.n【分析】利用对数的性质、基本不等式逐项进行分析判断，可得答案。15．（2022·临沂二模）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（　　）A．B．C．D．【答案】B,C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式【解析】【解答】对于A，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；当时，满足，不满足，即推不出，不必要；A不符合题意；对于B，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；当时，平方得，又，又，故，即能推出，必要；B符合题意；对于C，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；当时，由，，即能推出，必要；C符合题意；对于D，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；当时，满足，不满足，即推不出，不必要；D不符合题意.故答案为：BC.【分析】根据绝对值不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断可得答案。16．（2022·福州模拟）若，则（　　）A．B．C．D．【答案】A,B,D【知识点】不等式比较大小；基本不等式【解析】【解答】A.因为，所以，所以，则，故正确；B.，而，取不到等号，故正确；C.因为，所以，故错误；D.因为，所以，所以，故正确；故答案为：ABD【分析】A.利用不等式的基本性质判断；B.利用重要不等式判断；C.利用基本不等式的条件判断；D.利用作差法判断.17．（2022·淄博模拟）已知，则a，b满足（　　）A．B．C．D．【答案】C,D【知识点】换底公式的应用；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由，则，则，所以，则，所以A不符合题意.，所以B不正确.由，因为，故等号不成立，则，C符合题意.（因为，故等号不成立），D符合题意.故答案为：CDn【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式、作差比较大小的方法结合换底公式、对数的运算法则、均值不等式求最值的方法，进而找出正确的选项。18．（2022·枣庄一模）已知正数a，b满足，则（　　）A．的最大值是B．的最大值是C．a-b的最小值是D．的最小值为【答案】A,B,D【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】由得，当且仅当时取等，A符合题意；由得，当且仅当时取等，B符合题意；由正数a，b及知，，可得，故，C不符合题意；令，则，两边同时平方得，整理得，又存在使，故，解得，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值测方法、不等式的基本性质、平方法和判别式法，进而找出正确的选项。三、填空题19．（2022·泰安模拟）如图，在中，，，点P在线段CD上（P不与C，D点重合），若的面积为，，则实数m＝　　，的最小值为　　．【答案】；【知识点】基本不等式；向量的线性运算性质及几何意义【解析】【解答】因为，所以而因为与为非零共线向量，故存在实数使得故所以的面积为，所以当且仅当时等号成立，故的最小值为；故答案为：；.【分析】用表示出与，利用两个向量共线可求出m；求出后利用基本不等式可求出的最小值。20．（2022·滨州二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，成等差数列，则的面积的最大值为　　．【答案】【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的性质；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用【解析】【解答】解：因为，，成等差数列，所以，由正弦定理可得，又，所以，即，所以由余弦定理可得，即，又，即，当且仅当时等号成立，所以，即，因为，所以，所以，所以的面积的最大值为.故答案为：.【分析】由，，成等差数列，结合正弦定理可得，进而可得n，由余弦定理结合基本不等式可得，，从而根据的面积公式即可求解.21．（2022·呼和浩特模拟）如图所示，在平面四边形ABCD中，若，，，，则的面积的最大值为　　．【答案】【知识点】基本不等式；余弦定理【解析】【解答】在中，，在中，由余弦定理得，即，当且仅当时，等号成立，所以，又由，可得，所以面积的最大值为.故答案为：.【分析】在中，由余弦定理求得，再在中，由余弦定理和基本不等式，求得，结合面积公式，即可求解.22．（2022·安阳模拟）已知a，b为正实数，且，则的最小值为　　．【答案】8【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：因为、且，所以当仅当时取等号，即解得或（舍去），当且仅当、时取等号；故答案为：8【分析】依题意可得，再将右边利用基本不等式计算得到，最后解一元二次不等式即可得解.23．（2022·淮南二模）中，为边上的中线，，则的取值范围是　　．【答案】【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的性质及其运算律；余弦定理【解析】【解答】设，为正数，依题意：中，为边上的中线，，，两边平方得，，①，设，代入①得，整理得②，此方程至少有1个正根，首先，解得③，在三角形中，由余弦定理得恒成立，即恒成立，整理得恒成立，由于，当且仅当时等号成立，所以，结合③可得.对于方程②：若对称轴，方程②变为，符合题意.若对称轴，则方程②至少有一个正根，符合题意，n若对称轴，要使方程②至少有一个正根，则需，解得.综上所述，也即的取值范围是.故答案为：【分析】设，为正数，由平方可得①，设，代入①，化简可得②，由题意此方程至少有1个正根，由判别式可得③，再由余弦定理得恒成立，得到恒成立，由基本不等式得到，结合③可得.再通过讨论；；；即可解决问题。四、解答题24．（2022·平江模拟）的内角的对边分别为，若已知．（1）求角B的大小；（2）若，求的面积的最大值．【答案】（1）解：由及正弦定理，得，；（2）解：由余弦定理有.【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）由及正弦定理和三角形内角和为180度的性质，再利用诱导公式和二倍角的正弦公式，再结合三角形中角的取值范围，进而得出角B的值。（2）利用已知条件结合余弦定理和均值不等式求最值的方法，从而得出ac的最大值，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积的最大值。25．（2022·淄博模拟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）求证：；（2）若，求的最小值．【答案】（1）证明：因为，所以，所以，即，两边同时乘，可得，即。所以，因为，所以，由正弦定理可得，即.（2）解：因为，所以由余弦定理可得，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，再利用三角形内角和为180度的性质和诱导公式，再结合正弦定理证出。（2）利用已知条件结合数量积的定义和余弦定理以及，再结合均值不等式求最值的方法得出的最小值。26．（2022·石嘴山模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若n．（1）求；（2）若，求的最小值．【答案】（1）解：由，利用正弦定理可得：，，∵，∴，∴；（2）解：由D为的中点，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，当且仅当时，取最小值．【知识点】基本不等式；向量的加法及其几何意义；解三角形；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角即可求得cosB，即可求解；（2）由，平方可得=，再结合基本不等式即可求解。