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湘教版九下数学第1章二次函数达标检测卷
湘教版九下数学第1章二次函数达标检测卷
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第1章二次函数一、选择题(每题3分,共30分)1.下列函数中,是二次函数的是( )A.y=3x-1B.y=3x2-1C.y=(x+1)2-x2D.y=2.抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标为( )A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1,-1)3.二次函数y=-x2+2kx+2的图象与x轴的交点有( )A.0个B.1个C.2个D.以上都不对4.将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )A.y=-2(x+1)2-1B.y=-2(x+1)2+3C.y=-2(x-1)2-1D.y=-2(x-1)2+35.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,当y<0时,自变量x的取值范围是( )A.-1<x<3B.x<-1C.x>3D.x<-1或x>36.若A,B,C为二次函数y=x2+4x-5图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y3>y1>y2D.y1>y3>y27.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象可能是( )8.如图,从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t-5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )10 A.6sB.4sC.3sD.2s9.抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴的正半轴交于B,C两点,且BC=2,S△ABC=3,则b的值是( )A.-5B.4或-4C.4D.-410.如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D,F分别在AC,BC边上,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( )二、填空题(每题3分,共24分)11.抛物线y=-x2+15有最________点,其坐标是________.12.如图,二次函数的图象与x轴相交于点(-1,0)和(3,0),则它的对称轴是直线________.13.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2022的值为________.14.小磊要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形钢架模型中,长度为x(单位:cm)的边与这条边上的高之和为40cm,这个三角形钢架模型的面积S(单位:cm2)随x10 的变化而变化.则S与x之间的函数关系式为________________.15.若a,b,c是实数,点A(a+1,b),B(a+2,c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上,则b,c的大小关系是b________c.16.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:x…-10123…y…105212…则当y<5时,x的取值范围是______________.17.某商店经营一种水产品,成本为每千克40元.经市场调查发现,若按每千克50元销售,一个月能售出500kg;销售单价每涨1元,月销售量减少10kg,针对这种水产品的销售情况,销售单价定为______元时,获得的月利润最大.18.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c的图象,有下列结论:①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;②4a+2b+c<0;③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-1;④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的有________个.三、解答题(19题8分,20、21题每题10分,22、23题每题12分,24题14分,共66分)19.已知抛物线y=3x2-2x+4.(1)通过配方,将抛物线的表达式写成y=a(x-h)2+k的形式.(2)写出抛物线的开口方向和对称轴.20.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴有两个交点,其坐标分别为(m,0),(-3m,0)(m≠0).(1)求证:4c=3b2.(2)若该二次函数图象的对称轴为直线x=1,试求该二次函数的最小值.10 21.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,-6),与x轴的一个交点坐标是A(-2,0).(1)求该二次函数的表达式,并写出顶点D的坐标.(2)将该二次函数的图象沿x轴向左平移个单位,求当y<0时,x的取值范围.22.某产品每件的成本是120元,在试销阶段,每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)的关系如下表:x/元130150165y/件705035(1)若日销售量y(件)是售价x(元)的一次函数,求y与x的函数关系式.(2)若每日获得利润用P(元)表示,求P与x之间的函数关系式.10 (3)当每件产品的售价为多少元时,才能使每日获得的利润最大?最大利润为多少?23.如图,有一条双向公路隧道,其截面由一段抛物线和矩形ABCO组成,隧道最高处距地面为4.9m,AB=10m,BC=2.4m.现把隧道的截面放在直角坐标系中,有一辆高为4m、宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道,如果不考虑其他因素,汽车的右侧离隧道的右壁超过多少米才不至于碰到隧道顶部?(抛物线部分为隧道顶部,AO,BC为两壁)24.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,直线y=-2x-1与y轴交于点A,与直线y=-x交于点B,点B关于原点的对称点为点C.(1)求过A,B,C三点的抛物线对应的函数表达式.(2)若P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q.①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标.②若点P的横坐标为t(-1<t<1),当t为何值时,四边形PBQC的面积最大?10 10 答案一、1.B 2.A 3.C4.D 点拨:将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为y=-2(x-1)2+3.故选D.5.A 6.D 7.C 8.A 9.D10.A 点拨:当0<x≤1时,y=x2.当1<x≤2时,设ED交AB于点M,EF交AB于点N,CD=x,则AD=2-x.∵在Rt△ABC中,AC=BC=2,∴△ADM为等腰直角三角形,∴DM=2-x,∴EM=x-(2-x)=2x-2,易知S△ENM=(2x-2)2=2(x-1)2,∴y=x2-2(x-1)2=-x2+4x-2=-(x-2)2+2.故应选A.二、11.高;(0,15) 12.x=113.2023 14.S=-x2+20x 15.<16.0<x<4 点拨:由表可知,二次函数图象的对称轴为直线x=2.∵当x=0时,y=5,∴当x=4时,y=5,∴当y<5时,x的取值范围为0<x<4.17.70 点拨:设销售单价为x元,月利润为y元,则y=(x-40)·[500-10(x-50)],即y=-10(x-70)2+9000(50≤x≤100),当x=70时,y有最大值,即获得的月利润最大.18.2 点拨:抛物线开口向下,顶点坐标为(-1,4),故二次函数y=ax2+bx+c的最大值为4;当x=2时,对应的点在x轴下方,故4a+2b+c<0.二次函数的图象与x轴的交点为(1,0),(-3,0),则抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1),将点(0,3)的坐标代入可得a=-1,令-(x+3)(x-1)=1,化简可得x2+2x-2=0,它的两根之和为-2.易知当y≤3时,x的取值范围为x≤-2或x≥0.综上所述,结论①②正确.三、19.解:(1)y=3x2-2x+4=3[x2-x+-]+4=3-+4=3+.10 (2)开口向上,对称轴是直线x=.20.(1)证明:由题意,知m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根,根据一元二次方程根与系数的关系,得m+(-3m)=-b,m·(-3m)=-c,∴b=2m,c=3m2,∴4c=12m2,3b2=12m2,∴4c=3b2.(2)解:由题意得-=1,∴b=-2,由(1)得c=b2=×(-2)2=3,∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴该二次函数的最小值为-4.21.解:(1)∵把点C(0,-6)的坐标代入抛物线的表达式得c=-6,把A(-2,0)的坐标代入y=x2+bx-6,得b=-1.∴抛物线的表达式为y=x2-x-6=-.∴顶点D的坐标为(,-).(2)该二次函数的图象沿x轴向左平移个单位得y=(x+2)2-的图象.令y=0,得(x+2)2-=0,解得x1=,x2=-.∵a>0,∴当y<0时,x的取值范围是-<x<.22.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(130,70),(150,50)分别代入得解得∴y与x的函数关系式为y=-x+200.(2)P=(x-120)y=(x-120)(-x+200)=-x2+320x-24000(120≤x≤200).(3)∵P=-x2+320x-24000=-(x-160)2+1600,∴当每件产品的售价为160元时,才能使每日获得的利润最大,最大利润为1600元.23.解:如图,由题意得抛物线的顶点坐标为(5,2.5),且过点O(0,0)和点C(10,0),可求出抛物线对应的函数表达式为y=-x2+x.用矩形DEFG表示汽车的截面,设BD=mm,直线DG交抛物线于点H,交x轴于点M,则AD=10-m(m),HM=-(10-m)2+10-m(m).10 ∴HD=-(10-m)2+10-m+2.4(m).由题意得-(10-m)2+12.4-m>4,易得2<m<8.根据公路隧道为双向,汽车宽为2m,易知m≤3.∴2<m≤3.故汽车的右侧离隧道的右壁超过2m才不至于碰到隧道顶部.24.解:(1)联立方程组解得∴点B的坐标为(-1,1).又∵点C为点B关于原点的对称点,∴点C的坐标为(1,-1).∵直线y=-2x-1与y轴交于点A,∴点A的坐标为(0,-1).设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+bx+c,把A,B,C三点的坐标分别代入,得解得∴抛物线对应的函数表达式为y=x2-x-1.(2)①连接PQ.由题易知PQ与BC交于原点O.当四边形PBQC为菱形时,PQ⊥BC,∵直线BC对应的函数表达式为y=-x,∴直线PQ对应的函数表达式为y=x.10 联立方程组解得或∴点P的坐标为(1-,1-)或(1+,1+).②如图,过点P作PD⊥BC,垂足为点D,过点P作x轴的垂线,交直线BC于点E,则S四边形PBQC=2S△PBC=2×BC·PD=BC·PD.∵线段BC的长固定不变,∴当PD最大时,四边形PBQC的面积最大.又易知∠PED=∠AOC(固定不变),∴当PE最大时,PD也最大.∵点P在抛物线上,点E在直线BC上,∴点P的坐标为(t,t2-t-1),点E的坐标为(t,-t).∴PE=-t-(t2-t-1)=-t2+1.∴当t=0时,PE有最大值,此时PD有最大值,四边形PBQC的面积最大.10
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