八年级数学第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷 (20)(含解析)

第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(20)一、单选题1．如图的正三角形ABC与正方形CDEF中，B、C、D三点共线，且AC＝10，CF＝8．若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小为多少？（）A．4B．5C．4D．52．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（）A．36°B．54°C．64°D．72°3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cmB．2.3cmC．2.4cmD．2.5cm4．如图，矩形中，过对角线上一点作//，分别交于点，交于点，连接，已知．与的面积和等于（）A．15B．12C．10D．75．如图，菱形的边长为10，对角线＝16，点分别是边的中点，连接,并延长与的延长线相交于点，则长为（）A．13B．10C．12D．56．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）A．2B．2C．3D．47．菱形的对角线，相交于点，且，，则四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）A．5B．2.5C．4.8D．2.49．如图，等腰直角三角形ABC，∠B＝90°，沿DE（∠DEB＝45°）剪去△BDE（3BE＜AB），取AE中点F，沿FG（FG⊥AE）剪去△AGF，作GH⊥CD，沿GH剪去△GCH，记S△BDE＝S1，S△AGF＝S2，S△CGH＝S3，五边形DEFGH的面积为S4，若S2+S3﹣S4＝6，则S1＝（　　）A．1.5B．3C．4.5D．6,二、解答题10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形；（2）若AC＝2，BD＝4，则四边形ABEO的面积是．11．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求DF的长．12．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若EF＝4，∠HEF＝60°，求EG的长．13．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作∥，作BM⊥于M，DN⊥于N，直线MB、ND分别交于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．,14．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．15．如图，已知在△ABC中AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．（1）求证：AD∥CF；（2）求证：四边形ADCF是矩形．16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．（1）求证：△AOM≌△CON；（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为　　．17．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；,（2）若AB＝4，DE＝1，求AF的长．18．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：．19．如图，△ABC中，分别以AB、AC为边在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD、BE，四边形ADFE是平行四边形．（1）求证：△ACD≌△AEB；（2）当∠BAC的度数为　　时，平行四边形ADFE是矩形；当∠BAC的度数为　　时，平行四边形ADFE不存在；（3）当△ABC满足　　时，平行四边形ADFE是菱形．20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．21．在正方形中，是一条对角线，点在线段上（与点、不重合），连接，平移，使点移动到点，得到，过点作，垂足为，连接,，．（1）根据题意补全图形；（2）求证：．22．如图，在▱ABCD中，BA⊥AC，延长DC至E，使得DC=CE，连接BE，连接AE交BC于O，（1）求证：△COE≌△BOA ；（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．三、填空题23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，且∠ABE＝2∠CBE，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D，点F为DE的中点，连接AF，若DE＝，则AB的长为_____．24．如图，△ABC是边长为9的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边作等边三角形ADE，F为AC中点，则线段EF的长为______．,25．如图，已知点A、B、E在同一直线上，AB＝18，BE＝7，分别以AB、BE为边作菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60°，连接DF，若点P是线段DF的中点，连接PCPG．则线段PC的长为____．26．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；②分别以点F，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点E，交于点O，连接．若，，则四边形的面积为_________．27．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝__．28．如图，有一张矩形纸条，，点M，N分别在边上，．现将四边形沿折叠，使点B，C分别落在点，上，在点M从点A运动到点B的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为_________．,29．如图，四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到，再以对角线，为边作第四个正方形，连接，得到，…，设，，，…，的面积分别记为，，，…，如此下去，则的值为_______．30．如图a是长方形纸带，∠DEF=22°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是________°．,【答案与解析】1．A【解析】由题意知FP的长度最小值即为F到AC的距离，作FM⊥AC，根据题意得正三角形ABC与正方形CDEF的角分别为60°和90°，知∠FCM=30°，由30°的直角三角形的性质，即可求解．解：如图，过点F，作FM⊥AC交AC于点M，此时FM为FP的最小值，∵∠ACD＝60°，∠FCD＝90°，∴∠FCM＝180°﹣∠ACB﹣∠FCD＝180°﹣60°﹣90°＝30°，又∵∠FMC＝90°，∴MF＝FC＝4，即PF的长度最小值为4，故选：A．本题考查正方形的性质和正三角形的性质，解题关键是熟练掌握30°的直角三角形性质．2．B【解析】利用菱形的性质，∠DAC＝∠ACB，△AOE≌△COF，从而为等腰三角形三线合一性质的运用创造条件．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，,在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AO＝CO，又∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，故选：B．本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握菱形的性质，准确判断三角形的全等，活用等腰三角形，直角三角形的性质是解题的关键．3．D【解析】根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，根据勾股定理求出AC，进而求出BD、OD，最后根据三角形中位线求出EF的长即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝2.5cm，故选：D．,本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．C【解析】根据矩形的性质和三角形面积关系可证明S△DEM=S△BFM，即可求解．解：作PM⊥AB于P，交DC于Q．则有四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC，∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF，∵DE=CF=2，∴S△DEM=S△MFB=×2×5=5，∴S△DEM+S△MFB=5+5=10，故选：C．本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形DEMQ=S四边形MPBF．5．C【解析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为10，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB=BC=CD=DA=10，EF∥BD，,∵AC、BD是菱形的对角线，AC=16，∴AC⊥BD，AO=CO=8，OB=OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD=EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD=10，CO=8，∴OB=OD=，∴BD=2OD=12，∴EG=BD=12；故选：C．本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．6．D【解析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE，而BE是等边△ABE边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，可求出AB的长，从而求出结果．设BE与AC交于点P'，连接BD．∵点B与D关于AC对称，∴P'D＝P'B，∴P'D+P'E＝P'B+P'E＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝4，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝4．故选：D．,本题考查的是正方形的性质和轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．7．B【解析】根据平行四边形的判定定理得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据矩形的判定定理证明即可．解：∵DE∥AC，CE∥DB，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形，故选：B．本题考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，掌握有一个角是直角的平行四边行是矩形是解题的关键．8．D【解析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得AP最短时的长，然后即可求出PM最短时的长．解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，,∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM＝AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．故选：D．此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出AP是解决问题的关键．9．B【解析】由题意，△ABC，△AFG，△CGH，△DEB都是等腰直角三角形，设AF＝FG＝a，GH＝CH＝b，可得EF＝AF＝a，所以BE＝BD＝b﹣a，根据S2+S3﹣S4＝6可得（b﹣a）2＝6，而S1＝(b﹣a)2，即可求得S1．解：由题意，△ABC，△AFG，△CGH，△DEB都是等腰直角三角形，四边形BFGH是矩形，设AF＝FG＝a，GH＝CH＝b，∵EF＝AF＝a，∴BE＝BD＝b﹣a，∵S2+S3﹣S4＝6，∴a2+b2﹣[ab﹣(b﹣a)2]＝6，整理得(b﹣a)2＝6，∴S1＝(b﹣a)2＝3，,故选：B．本题考查了等腰三角形的性质，三角形面积，矩形的面积等知识．解题的关键是学会用参数解决问题．10．（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）先根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据平行四边形的性质可得，再根据菱形的性质可得，然后利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后利用菱形的面积公式即可得．（1）证明：，四边形是平行四边形，点是平行四边形对角线的交点，且，，四边形是菱形；（2）如图，连接，交于点，四边形是平行四边形，且，，四边形是菱形，，在中，，,，则四边形的面积为．本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．11．（1）见解析；（2）【解析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BE＝DE，设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∵DF＝DE=．本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的四条边相等，是解题的关键．12．（1）证明见解析；（2）4．【解析】（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分线，易得∠HEG=∠FEG，根据等量代换可得∠HEG=∠HGE，从而有HE=HG，易证四边形EFGH是菱形；（2）连接FH交EG于O，在Rt△EOF中，解直角三角形即可解决问题；,解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；∴EH＝FG∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．又∵AE＝CG，AH＝CF，∴BE＝DG，BF＝DH，在△BEF与△DGH中，，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝GH．∴四边形EFGH是平行四边形，∴HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG，∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠HEG＝∠HGE，∴HE＝HG，又四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（2）连接HF交EG于O，则OF⊥EG，OE=EG．,∵四边形EFGH是菱形，∴EG⊥FH，∠FEO＝∠HEF＝30°，∵EF＝4，∴OF＝EF＝2∴由勾股定理得，OE=2，∴EG＝2EO＝4．本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定．解题的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．13．证明见解析【解析】先证明四边形PQMN为矩形，再证明有一组邻边相等即可．证明：∵∥，BM⊥，DN⊥，∴∠QMN＝∠P＝∠N＝90°，∴四边形PQMN为矩形，∵AB＝AD，∠M＝∠N＝90°∠ADN+∠NAD＝90°，∠NAD+∠BAM＝90°，∴∠ADN＝∠BAM，又∵AD＝BA，∴Rt△ABM≌Rt△DAN（AAS），∴AM＝DN,同理AN＝DP，∴AM+AN＝DN+DP，即MN＝PN．∴四边形PQMN是正方形．本题考查了矩形的判定，正方形的性质和判定，平行线的性质，根据题意，熟练进行矩形的判定，准确选择正方形的判定方法是解题的关键．14．证明见解析【解析】由题意可得△AEB≌△AFD，从而得到AB=AD，并最终得到所证结论成立．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定、矩形的性质、三角形全等的判定和性质是解题关键．15．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）先证EG是△ACD的中位线，得EG∥AD，再由∠FCA=∠CEG证出EG∥CF，即可得出结论；（2）先证△ADE≌△CFE（AAS），得AD=CF，则四边形ADCF是平行四边形，再由等腰三角形的在得∠ADC=90°，即可得出结论．解：（1）证明：∵E，G分别是AC，DC的中点，∴EG是△ACD的中位线，∴EG∥AD，∵∠FCA＝∠CEG，∴EG∥CF，,∴AD∥CF；（2）证明：由（1）得：AD∥CF，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF，∴四边形ADCF是平行四边形，又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCF是矩形．本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．16．（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）利用线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，即可得到判定△AOM≌△CON的条件；（2）连接CE，设AE=CE=x，则DE=6-x，再根据勾股定理进行计算，即可得到AE的长．解：（1）∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠M＝∠N，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS）；（2）如图所示，连接CE，,∵MN是AC的垂直平分线，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，则DE＝6﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，∴Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，即32+（6﹣x）2＝x2，解得x＝，即AE的长为．故答案为：．本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17．（1）见解析；（2）5【解析】（1）由正方形的性质得出∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，得出AE＝DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论；（2）由正方形的性质与已知线段求出AE，再由勾股定理求得BE，便可得AF的长度．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，∵DE＝CF，∴AE＝DF，在△BAE和△ADF中，,∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；（2）解：∵AB＝4，四边形ABCD是正方形，∴AD＝4，∵DE＝1，∴AE＝3，∴BE＝＝＝5，∵△BAE≌△ADF，∴BE＝AF＝5．本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．18．见解析【解析】根据矩形的性质证明即可．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CA＝DB，OA＝CA，OB＝DB，∴OA＝OB，∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F∴∠AEO＝∠BFO＝90°，∵∠AOE＝∠BOF，在△AEO与△BFO中，，∴△AEO≌△BFO（AAS），∴AE＝BF．此题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定和性质进行证明．,19．（1）见解析；（2）150°，60°；（3）AB＝AC．【解析】（1）利用等边三角形的性质，证明△ACD≌△AEB即可；（2）由∠BAC＝150°时，求解∠DAE＝90°，结合四边形ADFE是平行四边形，可得平行四边形ADFE是矩形；由∠BAC＝60°，证明D、A、E三点共线，可得平行四边形ADFE不存在；（3）由△ABD和△ACE是等边三角形，可得AD＝AB，AE＝AC，结合平行四边形ADFE是菱形，可得AD＝AE，从而可得AB＝AC．解：（1）证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ACE＝∠AEC＝∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（SAS）；（2）解：当∠BAC的度数为150°时，平行四边形ADFE是矩形；当∠BAC的度数为60°时，平行四边形ADFE不存在；理由如下：当∠BAC＝150°时，∵∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAE＝360°﹣150°﹣60°﹣60°＝90°，又∵四边形ADFE是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形；当∠BAC＝60°，∠BAC+∠DAB+∠CAE＝180°，∴D、A、E三点共线，∴平行四边形ADFE不存在；故答案为：150°，60°；（3）解：当△ABC满足AB＝AC时，平行四边形ADFE是菱形，理由如下：∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，,∴AD＝AE，又∵四边形ADFE是平行四边形，∴平行四边形ADFE是菱形，故答案为：AB＝AC．本题考查的是三角形全等的判定与性质，矩形，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键．20．（1）见解析；（2）S菱形ADCF＝96．【解析】（1）先证明△AEF≌△DEB（AAS），得AF＝DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD＝CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；（2）先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积＝直角三角形ABC的面积，即可解答．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∵D是BC的中点，∴AF＝DB＝DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，,∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积，解决本题的关键是掌握以上基础知识．21．（1）见详解；（2）见详解．【解析】（1）根据题意可直接进行作图；（2）连接HC，过点H作HE⊥DC于点E，由题意易得CQ=DP，，进而易证△ABH≌△CBH，然后可得DE=QE，则有，最后问题可求证．解：（1）由题意可得如图所示：（2）连接HC，过点H作HE⊥DC于点E，如图所示：由平移可得CQ=DP，∵四边形ABCD是正方形，∴，∵BH=BH，∴△ABH≌△CBH（SAS），∴AH=CH，∵，∴△HDQ是等腰直角三角形，,∴DE=QE，∵，∴，∵HE⊥DC，∴，∴．本题主要考查正方形的性质、线段垂直平分线的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．22．（1）见解析；（2）当时，四边形是正方形，证明见解析【解析】（1）根据平行四边形的性质证得∠ABO=∠D，AB=DC，AB∥DC，进而证得∠CEO=∠BAO，AB=CE，根据三角形全等的判定即可证得△COE≌△BOA；（2）先证得四边形ABEC是平行四边形，进而证得是矩形，根据勾股定理求出AB=AC，即可得到四边形ABEC是正方形．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABO=∠D，AB=DC，AB∥DC，∴AB∥DE，∴∠CEO=∠BAO，∵DC=CE，∴AB=CE，在△COE和△BOA中，，∴△COE≌△BOA（AAS）；（2）解：当BC=AB时，四边形ABEC是正方形，理由如下：由（1）知，AB=CE，AB∥CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∵BA⊥AC，,∴∠BAC=90°，∴四边形ABEC是矩形，在Rt△ABC中，∵，BC=AB，∴，∴AB2=AC2，∴AB=AC，∴四边形ABEC是正方形．本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．23．【解析】先利用直角三角形斜边上的中线性质得到AF=FD=，再利用平行得△AEF是等腰三角形即可得出结论∵AD//BC∴∠BCE=∠D，∠C=∠CAD=90°又∵在Rt△AED中，F是中点，∴AF=FD=EF∴∠D=∠FAD∴∠AFB=2∠D又∵∠ABE=2∠BCE=2∠D∴∠ABE=∠AFB∴AB=AF，又DE=∴AB=AF=DE=本题考查直角三角形斜边上的中线性质、平行的性质、等腰三角形，灵活的进行等角的转换是关键，有中点联想到性质是重点．24．【解析】,由“SAS”可得△ABD≌△ACE，可得∠ADB＝∠AEC＝90°，由直角三角形的性质可求EF的长．解：如图，连接CE，∵AD是等边△ABC的高∴∠BDA＝90°∵△ABC，△ADE是等边三角形∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AE＝AD∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵F为AC中点，∴EF＝AC＝故答案为：本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形性质，证明∠AEC=90°是本题的关键．25．5.5【解析】延长GP交CD于H点，证明△DHP≌△FGP，由此可得△CGH是等腰三角形，根据三线合一可知CP⊥HG，且CP平分∠HCG，在Rt△HCP中求解CP长．解：延长GP交CD于H点，∵DC∥GF，,∴∠HDP＝∠GFP．又DP＝FP，∠HPD＝∠GPF，∴△DHP≌△FGP（ASA）．∴HP＝GP，DH＝GF＝7．∴CH＝DC﹣DH＝18﹣7＝11．又CG＝BC﹣BG＝18﹣7＝11，∴CH＝CG．∴CP⊥HG，CP平分∠HCG．∵∠ABC＝60°，∴∠HCG＝120°，∴∠HCP＝60°．所以在Rt△HCP中，∠CHP＝30°，CP＝HC＝5.5．故答案为5.5．本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的“三线合一”性质，解决“中点”问题，一般倍长中线，构造全等三角形．26．24．【解析】根据作图可知AG是角平分线，根据等腰三角形的性质判断四边形AFEB是菱形，求出对角线长即可求面积．解：由作图可知，AG平分∠BAF，AB=AF，∴AG垂直平分BF，∠FAG=∠BAE，∴EF=EB，∵AD∥BE，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴AB=BE=EF=AF，∴四边形ABEF是菱形，∴BO=FO=4，,∴，AE=6，菱形的面积为；故答案为：24．本题考查了角平分线的作法、菱形的判定与性质、勾股定理和平行四边形的性质，解题关键是明确角平分线作法，证出四边形是菱形．27．150°．【解析】先根据正方形和等边三角形的性质得出AB＝BE，∠ABE＝30°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝90°，BE＝CB＝CE，∠EBC＝∠BEC＝60°，∴AB＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BEA＝（180°﹣30°）＝75°，同理：∠CED＝75°，∴∠AED＝360°﹣75°﹣75°﹣60°＝150°，故答案为：150°．本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解决问题的关键．28．（−）【解析】探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．解：如图1中，,∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1=∠3，由翻折的性质可知：∠1=∠2，BM＝M，∴∠2=∠3，∴M=N，∵N==（cm），∴BM=M=N=（cm），D=4-；如图2中，当点M与A重合时，AE=EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2=22＋（4−x）2，解得x=，∴DE＝4−=（cm），如图3中，当点M运动到M⊥AB时，D的值最大，D＝5−1−2＝2（cm），,如图4中，当点M运动到点落在CD时，D（即）=4-（cm），∴点E的运动轨迹E→→，运动路径＝E＋＝2−＋2−（4−）=（−）（cm）．故答案是：（−）本题考查翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．29．【解析】首先求出S1、S2、S3，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．解：∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA=AA1=A1B1=1，∴S1=×1×1=，∵∠OAA1=90°，∴OA12=12+12=2，,∴OA1=，∴，∵∠OA1A2=90°，∴OA2=A2A3=，∴S3=，同理可得：S4=24-2，…，Sn=2n-2，∴S2021=22021-2=22019．故答案为：22019．本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、规律型等知识；熟练掌握正方形的性质与三角形面积的计算，找出规律是解题的关键．30．114°【解析】根据两直线平行，内错角相等可得∠EFB=∠DEF，再根据翻折的性质，图c中∠EFB处重叠3层，然后根据∠CFE=180°-3∠EFB代入数据行计算即可得解∵∠DEF=22°长方形ABCD的对边AD//BC∴∠EFB=∠DEF=22°由折叠，∠EFB处折叠了3层∴∠CFE=180°-3∠EFB=180°—3×22°=114°故答案为:114°本题考查折叠问题，熟知折叠中蕴含着全等，有相等的角与边进行分析是关键．