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人教版八(下)数学培优专题16 等腰三角形的性质(含答案解析)

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专题16等腰三角形的性质阅读与思考等腰三角形是一类特殊三角形,具有特殊的性质,这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据.因此,在解与等腰三角形相关的问题时,除了要运用全等三角形知识方法外,又不能囿于全等三角形,应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径,应熟悉以下基本图形、基本结论.⑴图1中,,,.⑵图2中,只要下述四个条件:①;②;③;④中任意两个成立,就可以推出其余两个成立.BCAD图1ADBC12图2例题与求解【例1】如图,在△ABC中,D在AC上,E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,则∠A=___________.(五城市联赛试题)解题思路:图中有很多相关的角,用∠A的代数式表示这些角,建立关于∠A的等式.ABCDE【例2】如图,在△ABC中,已知∠BAC=900,AB=AC,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF.(安徽省竞赛试题)解题思路:∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等,因此,需构造全等三角形,而在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线.ABCDEF\n【例3】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,D是AC上一点,且AE垂直BD的延长线于E,又AE=BD,求证:BD是∠ABC的角平分线.(北京市竞赛试题)解题思路:∠ABC的角平分线与AE边上的高重合,故应作辅助线补全图形,构造全等三角形、等腰三角形.AEBCD【例4】如图,在△ABC中,∠BAC=∠BCA=440,M为△ABC内一点,使∠MCA=300,∠MAC=160,求∠BMC度数.(北京市竞赛试题)BCMABCMA图3N解题思路:作等腰△ABC的对称轴(如图1),通过计算,证明全等三角形,又440+160=600;可以AB为一边,向点C所在的一侧作等边△ABN,连结CN,MN(如图2);或以AC为一边,向点B所在的一侧作等边△ACN,连结BN(如图3).BCMA图1DOBCMA图2N\n【例5】如图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形,以D为顶点作一个600角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连结MN,形成一个三角形.求证:△AMN的周长等于2.(天津市竞赛试题)解题思路:欲证△AMN的周长等于2,只需证明MN=BM+CN,考虑用补短法证明.BACDNM【例6】如图,△ABC中,∠ABC=460,D是BC边上一点,DC=AB,∠DAB=210,试确定∠CAD的度数.(北京市竞赛试题)解题思路:解本题的关键是利用DC=AB这一条件.BDCA能力训练A级1.如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450,那么这个等腰三角形的底角为_____________.2.如图,已知∠A=150,AB=BC=CD=DE=EF,则∠FEM=_____________.3.如图,在等边△ABC的AC,BC边上各取一点P、Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于点O,则∠BOQ=____________.4.如图,在△ABC中,∠BCA=900,∠BAC=600,BC=4,在CA的延长线取点D,使AD=AB,则D,B两点之间的距离是____________.(第2题)BACDEFMNABCQPO(第3题)ABCD(第4题)\n5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于()A.900-∠AB.900-∠AC.1800-∠AD.450-∠A6.如图,在△ABC中,∠ACB=900,AC=AE,BC=BF,则∠ECF=()A.600B.450C.300D.不确定(安徽省竞赛试题)ACBEF第5题图第6题图7.△ABC的一个内角的大小是400,且∠A=∠B,那么∠C的外角的大小是()A.1400B.800或1000C.1000或1400D.800或1400(“希望杯”邀请赛试题)8.三角形三边长,,满足,则三角形一定是()A.等边三角形B.以为底边的等腰三角形C.以为底边的等腰三角形D.等腰三角形(北京市竞赛试题)9.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是腰AB,AC延长线上的点,且BD=CE,连结DE交BC于G,求证:DG=EG.(湖北省竞赛试题)ABCDGE\n10.如图,在△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,求证:CE=BD.(江苏省竞赛试题)ABCDE11.已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=900,D为AB边中点,∠EDF=900,将∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC,BC(或它们的延长线)于E、F,当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证:S△DEF+S△CEF=S△ABC,当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.(牡丹江市中考试题)ABCABCABCEDFEDFDF图1图2图312.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=800,O为△ABC内一点,且∠OBC=100,∠OCA=200,求∠BAO的度数.(天津市竞赛试题)\nB级1.如图,在△ABC中,∠ABC=1000,AM=AN,CN=CP,则∠MNP=_________.ABCNMP(第1题)ABCPEF(第2题)ABCNM(第3题)2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下4个结论:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③S四边形AEPF=S△ABC;④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合).上述结论正确的是____________.(苏州市中考试题)3.如图,在△ABC中,AB=BC,M,N为BC边上两点,并且∠BAM=∠CAN,MN=AN,则∠MAC的度数是____________.4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠ACB的平分线相交于D,∠ADC=1300,那么∠CAB的大小是()A.800B.500C.400D.200A(第4题)BCD(第5题)ABCDABDECM(第6题)5.如图,在△ABC中,∠BAC=1200,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,则∠C的大小是()A.200B.250C.300D.4506.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,DM⊥AC交AC的延长线于M,连CD,下列四个结论:①∠ADC=450;②BD=AE;③AC+CE=AB;④AB-BC=2MC.其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC至D,延长BA至E,并且使AE=BD,连结CE、DE,求证:CE=DE.ABCDE\n8.如图,△ABC中,已知∠C=600,AC>BC,又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是△ABC外的等边三角形,而点D在AC上,且BC=DC.⑴证明:△C′BD≌△B′DC;⑵证明:△AC′D≌△DB′A;⑶对△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C,从面积大小关系上,你能得出什么结论?(江苏省竞赛试题)ABCDA′B′C′9.在△ABC中,已知AB=AC,且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形,试求△ABC各内角的度数.(江苏省扬州中学测试题)10.如图,在△ABC中,∠C=900,∠CAD=300,AC=BC=AD,求证:CD=BD.ABCD11.已知△ABC中,∠B为锐角,从顶点A向边BC或BC的延长线引垂线交BC于H点,又从顶点C向边AB或AB的延长线引垂线交AB于K,试问:当,是整数时,△ABC是怎样的三角形?并证明你的结论.(“智能杯”通讯赛试题)\n专题16等腰三角形的性质例145°例2提示:过点A作∠A的平分线BD交于G,先证明△ABG≌△ACF,再证明△AGD≌△CFFD例3提示:延长BC,AE交于一点.、例4提示:如图,作BD⊥AC于D,则∠OCD=∠OAD=30°,∴∠BA0=44°-30°=14°,∠MAO=∠OAC-∠MAC=14°,∴∠BAO=∠MAO,又∵∠AOD=∠COD=90°-30°=60°,∴∠AOB=∠AOM=120°,∴OB=OM.又∵AO=AO,∴△AOB≌△AOM又∵∠BOM=120°,∴∠OMB=30°,故∠BMC=180°-∠OMB=150°.例5如图,在AC延长线上截取CM1=BM,由Rt△BDM≌Rt△CDM1,得MD=M1D,∠MDB=∠M1DC.∴∠MDM1=120°-∠MDB+∠M1DC=120°,又∠MDN=60°,∴∠NDM1=60°,∵MD=MD1,∠MDN=∠NDM1=60°,DN=DN,∴△MDN≌△M1DN,得MN=NM1,故△AMN周长:AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.例6解法1如图a,作△ABD关于AD的轴对称图形△ADC,则∠EAD=21°,AE=AB,∴DE=BD,又∠ADC=21°+46°=67°,故∠ADE=∠ADB=180°-67°=113°,∠CDE=113°-67°=56°,连CE,可证△CDE≌△ABD≌△AED,∠ODE=∠OED=46°,得OD=OE,又DC=AE,则AO=CO,∠OCA=∠OAC,∠COE=2∠ACO,∠COE=2×46°=92°=2∠ACO.从而∠ACO=46°=∠OAC,∴∠DAE+∠EAC=67°.解法2如图b,过A点作AE∥BC.过D作DE∥AB,连接EC.∵∠EDC=∠ABC=46°,DE=AB=CD,\n∴∠DCE=∠CED=×(180°-46°)=67°∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67°∴∠ADC=∠DCE,,∴AD=EC.∴梯形ADCE为等腰梯形∴AC=DE(等腰梯形对角线相等),∴AB=AC=CD,∴∠DAC=∠ADC=67°.A级1.67.5°或22.5°2.75°3.60°4.85.A6.B7.B8.D提示:由已知得(b-c)(a-b)(a+c)=0,故b=c或a=b.9.提示:过D作DF∥AC交BC于F,证明△DFG≌△ECG.10.提示:延长CE交BA的延长线于F,证明△BEC≌△BEF,再证明△AFC≌△ADB.11.提示:图2成立,联系图1,可证明△ECD≌△FBD,图3不成立,此时12.作∠BAC的角平分线与CO的延长线交于D,连BD,则△ABD≌△ACD,则∠ABD=∠ACD=30°,∠OBD=∠ABC-∠OBC-∠ABD=20°=∠ABD,∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°=∠DAB,从而△ABD≌△OBD,AB=OB,即△ABO为等腰三角形,得∠BAO=(180°-40°)=70°B级1.40°2.①②③提示:连AP.3.60°提示:设∠CAN=∠BAM=α,∠MAN=β,则∠C=∠BAC=2α+β,∠AMN=β4.D5.A6.D7.提示:延长BD到F,使DF=BC,则△BEF为等边三角形,再证明△BCE≌△FDE8.⑴证明略;⑵由①得C´D=AC=AB´,由②得DB´=BA=C´A,又AD=AD,∴△AC´D≌△DB´A;⑶S△AB´C>S△ABC´>S△ABC>S△A´BC,S△ABC+S△ABC´=S△AC´B+S△A´BC9.满足题意的图形有以下四种情形:ABEC图bABCF图c图dABCGABDC图a10.提示:在△ACD内以CD为边作等边△ECD,连AE,则△ACE≌△ADE.∴∠CAE=∠CAD=15°,又∵∠DCB=90°-∠ACD=90°-75°=15°,∴∠CAE=∠BCD=∠ECA.又∵AC=BC,CE=CD,∴△ACE≌△BCD,∴∠DBC=∠EAC=15°.∴∠DCB=∠DBC,∴DC=DB.\nACBED11.设,,因BH<BA,BK<BC,故mn<4,得;;;;①当m=n=1时,BH=BC,BK=AB,△ABC是等边三角形.②当m=1,n=2时,BH=BC,BK=AB,△ABC是∠A为直角的等腰直角三角形.③当m=1,n=3时,BH=BC,BK=AB,△ABC是∠A为120°的等腰三角形.④当m=2,n=1时,△ABC是以∠C为直角的等腰直角三角形.⑤当m=3,n=1时,△ABC是以∠C为120°的等腰三角形.

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所属: 初中 | 数学
发布时间:2022-06-17 15:00:03 页数:10
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