人教版八（下）数学培优专题28 整体与完形——补形法（含答案解析）

专题28整体与完形阅读与思考许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形：例题与求解【例1】如图，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠E＝，∠C＝，则∠AFE＝_________度.(北京市竞赛试题)解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.【例2】设分别是△ABC的三边长，且满足，则它的内角∠A、∠B的关系是（）.A.∠B＞2∠AB.∠B＝2∠AC.∠B＜2∠AD.不确定（全国初中数学竞赛试题）解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形.\n【例3】如图1，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连结FG，延长AF，AG，与直线BC相交，易证.若（1）BD，CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为∠ABC的内角平分线；（3）CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.（黑龙江省中考试题）解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形.【例4】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BCD＝，AB＝，BC＝，CD＝，求AD的长.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形，所以直接求AD比较困难，应设法将AD转化为特殊三角形的边.例4题图例5题图【例5】如图，凸八边形中，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.（山东省竞赛试题）解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形.\n【例6】如图，在△ABC中，∠ABC＝，点D在边BC上，∠ADC＝，且.将△ACD以直线AD为轴作轴对称变换，得到△，连结.(1)证明：⊥;(2)求∠C的大小.（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题.能力训练1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，则BC＋CD＝_____________.（山东省竞赛试题）2.如图，凸五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝，EA＝AB＝BC＝，CD＝DE＝，则这个五边形的面积为_______________.（美国AHSME试题）3.如图，一个凸六边形六个内角都是，其中连续四条边的长依次为，则该六边形的周长为______________.4.如图，ABCDEF是正六边形，M，N分别是边CD，DE的中点，线段AM与BN相交于P，则＝_________.（浙江省竞赛试题）\n5.如图，长为的三条线段交于O点，并且∠＝∠＝∠＝，则三个三角形的面积和__________（填“＜”，“＝”，或“＞”）.（“希望杯”邀请赛试题）6.如图，在四边形ABCD中，∠A＝，∠B＝∠D＝，BC＝，CD＝，则AB＝().A.B.C.D.（广西壮族自治区中考试题）7.如图，在△ABC中，M为BC中点，AN平分∠A，AN⊥BN于N，且AB＝，AC＝，则MN等于（）.A.B.C.D.8.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝，BE⊥AD于E，，则BE的长为（）A.B.C.D.9.如图，在四边形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝，∠B＝，∠C＝，则∠D等于（）A.B.C.D.条件不够，无法求出（重庆市竞赛试题）\n10.如图，在△ABC中，E是AC中点，D是BC边上一点，若BC＝，∠ABC＝，∠BAC＝，∠CED＝，求的值.11.如图，设是的斜边长，是直角边，求证：.（加拿大中学生竞赛试题）12.如图，已知八边形ABCDEFGH所有的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等.13.如图，设P为△ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M，求证：.（齐齐哈尔市竞赛试题）14.一个圆内接八边形相邻的四条边长是，另四条边长是，求八边形的面积.\n专题28整体与完形——补形法例1134例2B提示：由已知得例3（1），分别延长AG、AF交BC于H，K，则AF=KF，AB=KB,AG=HG,AC=HC..（2）例4提示：作DG⊥BC交BC延长线于Q，AM⊥CB交CB延长线于M，DN⊥MA于N，则MNDQ为矩形，.例5延长A8A1，A3A2相交于M，延长A2A3，A5A4相交于N，延长A4A5、A7A6相交于P，延长A6A7、A1A8相交于Q.∵∠A1=∠A5,∠A2=∠A6，∴∠MA1A2=∠PA5A6,∠MA2A1=∠PA6A5,∴∠M=∠P，同理可证：∠N=∠Q。∴MNPQ为平行四边形，即A1A8∥A4A5，A2A3∥A7A6。同理可证：A1A2∥A6A5,A3A4∥A8A7∴凸八连形内任意一点到边A2A3和A6A7的距离的和为平行线A2A3和A6A7间的距离，是一个定值.同样,这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离；这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离；这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离，都是定值.所以，凸八边形内任意一点到8条边的距离的和是一个定值.例6(1)证明略.(2)如图,过点A分别作的垂线,垂足分别为.由及已证结论,知四边形是正方形,由,及是沿作对称变换得到,知点均在的平分线上，∴.于是，≌,≌.故.则在中，.能力训练1.提示：延长至，使.2.3.424.提示:延长及分别交于及,则∽,∽.5.<如图,将沿方向平移到位置,\n再将沿方向平移到位置,则为等边三角形,且边长为2，因==6.D7.D8.C9.B10.提示：把补成一个边长为1的正三角形,延长至,使,连接，在上取点，使,连接，则≌,～,.11.提示：以为直角边向三角形外作等腰,再作的延长线于E，则为直角梯形，.12.证明：设八边形的边长分别为且都是整数，因为内角都等于，所以延长对边与这对边的延长线依次交出四点，则为矩形。∴即.是整数,是整数,是无理数,上式成立,须,即.类似可以证明:,,,即这个八边形的对边相等.13.提示:过A作BC的平行线，分别交BN，CM的延长线于G,H,则BHGC为平行四边形，.14.在同圆中，因为等弦对等弧，所以，把八边形沿半径剪成四个底边为1和四个底边为2的等腰三角形，如图，重新拼成八边形,使,.易知，八边形的八个内角相等，且的延长线组成正方形,≌,≌.故原八边形面积=八边形的面积===