人教版九年级数学培优专题06 转化与化归--特殊方程、方程组（带答案解析）

专题06转化与化归----特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是：1、因式分解；2、换元；3、平方；4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.例题与求解【例1】已知方程组的两组解是与，则的值是_______（北京市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.【例2】方程组的正整数解的组数是（）A．1组B．2组C．3组D．4组解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．【例3】解下列方程:（1）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2）；（河南省竞赛试题）（3）；（山东省竞赛试题）（4）（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.\n【例4】解下列方程组:（1）（山东省竞赛试题）（2）（西安市竞赛试题）（3）（全苏数学奥林匹克试题）解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.【例5】若关于的方程只有一个解（相等的解也算一个）.试求的值与方程的解.（江苏省竞赛试题）【例6】方程的正整数解有多少对？（江苏省竞赛试题）解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.\n能力训练A级1．方程的实数根是_____________.2．，这个方程的解为=_________________.3．实数满足则的值为_______________.（上海市竞赛题）4．设方程组有实数解，则（武汉市选拔赛试题）5．使得成立的的值得个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个（“五羊杯”竞赛试题）6．已知方程组有实数根，那么它有（）A．一组解B．二组解C．三组解D．无数组解（“祖冲之杯”邀请赛试题）7．设，且，则代数式的值为（）A．5B．7C．9D．118．已知实数满足，则的值为（）A．6B．17C．1D．6或179．已知关于的方程组有整数解，求满足条件的质数.（四川省竞赛试题）\n10．已知方程组的两个解为且是两个不等的正数.（1）求的取值范围；（2）若，试求的值.（南通市中考试题）11．已知是方程的两个实根，解方程组（“祖冲之杯”邀请赛试题）12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为，且满足关系式试求这个一元二次方程.（杭州市中考试题）B级1．方程组的解是___________________.2．已知，则的值为______________.（全国初中数学联赛试题）3．已知实数是方程组的解，则（全国初中数学联赛试题）\n4．方程组的解是_________________.（“希望杯”邀请赛试题）5．若二元二次方程组有唯一解，则的所有可能取值为______________.（《学习报》公开赛试题）6．正数同时满足，，，，，.则的值为________.（上海市竞赛试题）7．方程的所有根的积是（）A．3B．-3C．4D．-6E．以上全不对（美国犹他州竞赛试题）8．设为实数，且满足则（）A．1B．-1C．2D．-2（武汉市选拔赛试题）9．已知则的值为（）A．1B．C．2D．10．对于实数，只有一个实数值满足等式，试求所有这样的实数的和.（江苏省竞赛试题）11．解方程，其中，并就正数的取值，讨论此方程解的情况.（陕西省竞赛试题）\n12．已知三数满足方程组试求方程的根.（全国初中数学联赛试题）13．解下列方程（组）：（1）；（武汉市竞赛试题）（2）；（湖北省竞赛试题）（3）（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）\n专题06转化与化归——特殊方程、方程组例1例2B提示：由（x+y）z=23。例3（1），，提示：=，令=y.（2）设=y，则原方程可化为，解得（3）设1999-x=a，x-1998=6，∴a+b=1，则原方程为：，得ab=0，即（1999-x）（x-1998）=0，解得，.（4）设=a，=b，∴=a+b，原方程可化为：，得ab=0，∴=0，解得例4（1）（2）提示：原方程可化为（3）方程两式相减得=0，而，∴x-y=0代入原方程得，可求得解为例5原方程化为，当k=0时，原方程有唯一解；当k≠0时，△=.总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，葱原方程知增根只能是0，1，显然0不是方程的根，故x=1，k=.例6解法一：把原方程变形为（x-1）y=，因x=1不满足方程，即x≠1，故y==2x-1+，由于2005=1×2005=5×401，即2005有正因数1，5，401，2005，∴分别取x-1=1，5，401，2005时，x与y均为正整数，即共有4对正整数解.解法二:把方程看成关于x的一元二次方程.由方程有整数解,其判别式为完全平方数,据此可得一下解法:△=(a为非负整数)，化简得，即，∴\n①.∵（y-1-a）与（y-1+a）奇偶性相同，且其积为偶数，故（y-1-a）与（y-1+a）同为偶数.由于y-1-a≤y-1+a，据①，只可能有（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）将方程（Ⅰ）～（Ⅳ）中的两个方程相加，分别得到的y值为4012，2008，808，412.由此可得相应的x值，故共有4对正整数解（x，y）.①②②A级1.2或2.1，-4，2，3.94.05.B6.A7.B提示：a，b为方程的两个不相等实根.8.B9.由及p为质数，知或或或当时，x=，y=，代入3xy+p（x-y）=得，解得p=3，或p=1（舍）.其他情况经计算知没有符合条件的质数.10.（1）（2）a=-11.提示：原方程组化为，①+②得x+y=-1.12.B级1.2.提示:有条件得.从而=7x+2，两边平方化简得，其正跟为x=.3.4.（x，y）=（1，9）5.1，-16.1+7.D8.C9.D10.原方程化为①，其中△=4-4×2（a+4）=-8a-28.当方程①有两个相等的实根时，由△=0，得；当方程①有两个不相等实根时，且x=1是方程①的一个根，解得，，；当方程①有两个不相等的实根时，且x=-1是方程①的一个根，解得，.故.11.由方程知，=a，当时，得a=2.讨论：当a>2时，方程有一个根为x=；当a=2时，方程有无数多个解为；当a<2时，方程无解.\n12.显然a，b是方程+c2－8c＋48＝0的两根，由△≥0得c＝4，从而，解得a＝b＝4.故原一元二次方程化为x2＋x－1＝0，解得x1＝，x2＝.13.（1）原方程可变形为（x－3）2＋6x＋（）2＝25，即（x－3＋）2＝25，∴x－3＋＝5或x－3＋＝－5，解得x1＝－1＋，x2＝－1－.（2）原方程化为（6x＋7）2（6x＋8）（6x＋6）＝72.设y＝6x＋7，解得x1＝－，x2＝－.（3）显然（x1，y1，z1）＝（0，0，0）符合条件.若xyz≠0，原方程可化为，三式相加，得（－1）2＋（－1）2＋（－1）2＝.0，∴（x2，y2，z2）＝（，，）.故（x，y，z）＝（0，0，0）（，，）.