人教版九年级数学培优专题17 直角三角形中的比例线段（带答案解析）

专题17直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论．ABCD如图，在Rt△ABC中，∠A=900，AD⊥BC于D，则1．图中角的关系：∠B=∠DAC，∠C=∠DAB；2．同一三角形中三边平方关系：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2；BC2=AB2+AC2．3．三角形之间的关系：△ABD∽△CAD∽△CBA，由此得出的线段之间的关系：AD2=BD•DC，AB2=BD•BC，AC2=CD•BC．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：①一线段是两个三角形的公共边；②另两条线段在同一直线上．例题与求解【例1】如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE⊥CB于E．若BE=6，CE=4，则AD=________．（上海市竞赛试题）解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD．CABDECABD例1题图例2题图【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=900，CD⊥AB，下列结论：①CD•AB=AC•BC；②；③；④AC+BC>CD+AB．其中正确的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断．\n【例3】如图，在等腰Rt△ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且EF⊥BE，求△CEF的面积．（全国初中数学联赛试题）解题思想：欲求△EFC的面积，由于EC=，只需求出△EFC中EC边上的高，或求出EC边上的高与EC的关系．ABCEF本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法．【例4】如图，直线OB是一次函数的图象，点A的坐标为(0，2)，在直线OB上找一点C，使△ACO为等腰三角形，求点C的坐标．（江苏省竞赛试题）BAOxy解题思想：注意分类讨论．能力训练A级AC1．如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=900，AC=，AD=2，当AB=_______时，这两个直角三角形相似．GABCDEBDAFECDB（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB于点D，∠A的平分线AF交CD于E，过E引EG∥AB交BC于G，若CE=，则BG的长为____________．（上海市竞赛试题）3．如图，ABCD为矩形，ABDE为等腰梯形，BD=20，EA=10，则AB=_________________．（“五羊杯”竞赛试题）\n4．如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则与y的大小关系是（）A．B．C．D．不确定（江苏省竞赛试题）CAB（第4题图）ABCD（第5题图）E5．如图，矩形ABCD中，AB=，BC=3，AE⊥BD于E，则EC等于（）A．B．C．D．6．在△ABC中，AD是高，且，那么∠BAC的度数是（）A．小于900B．等于900C．大于900D．不确定（全国初中数学联赛试题）7．如图，在△ABC中，已知∠C=900，AD是∠CAB的角平分线，点E在AB上，DE∥CA，CD=12，BD=15，求AE，BE的长．（上海市中考试题）ABCDE（第7题图）8．如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，求证：AG2=AF·FC．（西安市中考试题）（第8题图）ABCDEFG\n9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，D，E，F分别为垂足，求证：CD3=AB·AE·BF．(四川省中考试题)ABE（第9题图）DFC10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB=．⑴求证：CE=EF；⑵求EG的长．（河南省中考试题）ABE（第10题图）DFCGABE（第11题图）DFCP11．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=·AC，CD⊥AB于点D，点P为AB边上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．⑴当=2时，则=_____________；⑵当=3时，连结EF，DF，求的值；⑶当=___________时，（直接写出结果，不需证明）．\nB级1．如图，在Rt△ABC中，∠A=900，AD⊥BC，P为AD的中点，BP交AC于E，EF⊥BC于F，AE=3，EC=12，则EF=___________．（黄冈市竞赛试题）ABCDF（第1题图）EABCD（第2题图）2．如图，在Rt△ABC中，两条直角边AB，AC的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于______厘米．（全国初中数学联赛试题）3．如图，EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则AH：AE=______．（上海市竞赛试题）ABCD（第3题图）FGEHEDBAC（第4题图）ABE（第5题图）DFC4．如图，△ABC中，∠ACB=900，CD和CE分别是底边AB上的高和∠C的平分线，若△CED∽△ABC，则∠ECD等于()A．180B．200C．22.50D．300（山东省竞赛试题）5．如图，在△ABC中，D，E分别在AC，BC上，且AB⊥AC，AE⊥BC，BD=DC=EC=1，则AC=（）A．B．C．D．E．（美国高中统一考试题）6．如图，在等腰Rt△ABC中，F为AC边的中点，AD⊥BF．求证：BD=2CD．（武汉市竞赛试题）\n7．如图，P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H．求证：DH⊥HQ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）ABCD（第7题图）QPH8．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=900，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2、图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．C图2BAAABBCCcccbbbaaa图1图39．已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角形的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E．当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图1，易证：OD+OE=OC．当三角形绕点C旋转到CD与OA不垂直，如图2，图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．\nADOEBMCCMBEODAEBADOC图1图2图310．⑴如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：．⑵在△ABC中，∠BAC=900，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上．连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DMEN．（武汉市中考试题）CD图1EABPQCAABBCDDEEMMNNGGFF图2图3\n专题17直角三角形中比例线段例1例2B提示：只有结论④是错误的.例3提示：过F点作FM⊥EC于M，由Rt△ABE∽Rt△MEF，得，.又.例4提示：满足题意的点C有4个，坐标分别为，，△CAB，∴，从而．(3)B级　1．6　提示：延长FE，BA交于G，，GE＝EF，△AGE∽△FCE．　2．　提示：过B作BE∥AD，交CA的延长线于E．　3．5∶1　4．C　5．C　6．提示：过C作AC的垂线，交AD延长线于G，则△ABE≌△CAG，∴AE＝CG，由△ABF∽△EBA，∴EB∶AE＝AB∶AF＝2∶1，∴△EBD∽△GCD，∴BD∶DC＝EB∶CG＝EB∶AE＝2∶1，∴BD＝2CD．　7．提示：由Rt△PBH∽Rt△BCH及BP＝BQ，得，从而有，可推证得△BHQ∽△CHD．8．提示：当△ABC为锐角三角形时，过A作AD⊥BC于D，可证a2+b2＞c2．当△ABC为钝角三角形时，过B作BD⊥AC于D，可证a2＋b2＜c2．　9．提示：图2结论：OD＋OE＝OC．过C作CP⊥OA于P，CQ⊥OB于Q，则△CPD≌△CQE，DP＝EQ，OP＝DO＋DP，OQ＝OE－EQ．又OP＋OQ＝OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，故OD＋OE＝OC．图3的结论：OE－OD＝OC．　10．(1)略　(2)①　②∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°，∴∠B＝∠CEF，又∵∠BGD＝∠EFC，∴△BGD∽△EFC．∴，∴DG·EF＝CF·BG．又∵\nDG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG．由(1)得，∴，∴MN2＝DM·EN．