人教A版高中数学必修二：《2.3.1直线与平面垂直的判定》教案

第一课直线与平面垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论2．过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法3．情态、态度与价值观培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知（二）教学重点、难点重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；（2）直线和平面所成的角难点：直线与平面垂直判定定理的探究教学过程教学内容师生互动设计意图,新课导入问题：直线和平面平行的判定方法有几种？师投影问题，学生回答生：可用定义可判断，也可依判定定理判断复习巩固探索新知一、直线和平面垂直的定义、画法如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作l⊥直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直，如图师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面，桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？生：旗杆与地面内任意一条经B的直线垂直师：那么旗杆所在直线与平面内不经过B点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）生：垂直，依据是异面直线垂直的定义培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论,师：你能尝试给线面垂直下定义吗？……师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明探索新知二、直线和平面垂直的判定1．试验如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？2．直线与平面垂直的判定定理：师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）学生动手实验，然后回答问题生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直师：此时AD垂直上的一条直线还是两条直线？生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交师：怎么证明？培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论,一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD……师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想典例剖析例1如图，已知a∥b，a⊥，求证：b⊥证明：在平面内作两条相交直线m、n因为直线a⊥，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n又因为，m、n是两条相交直线，b⊥师：要证b⊥，需证b与内任意一条直线的垂直，又a∥b，问题转化为a与面内任意直线m垂直，这个结论显然成立学生依图及分析写出证明过程……师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力,探索新知二、直线和平面所成的角如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的借助多媒体讲授，提高上课效率典例剖析例2,如图，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1所以A1B1⊥BC1又因为BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角在Rt△A1BO中，师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角，关键在于过B点作出（找到，面A1B1CD的垂线，作出（找到）了面A1B1CD的垂线，直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了，怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢？生：连结BC1即可师：能证明吗？学生分析，教师板书，共同完成求解过程点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤,，，所以，∠BA1O=30°因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°随堂练习1．如图，在三棱锥V–ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC2．过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA ，PB，PC（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的心（2）若PA=PB学生独立完成答案：1．略2．（1）AB边的中点；（2）点O是△ABC的外心；（3）点O是△ABC的垂心3．不一定平行4．AC⊥BD巩固所学知识,=PC，则点O是△ABC的心（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PB⊥PA，则点O是△ABC的心3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？4．如图，直四棱柱A′B′C′D′–ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？归纳总结1．直线和平面垂直的定义判定2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善3．线线垂直线面垂直学生归纳总结教师补充,巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和能力课后作业27第一课时习案学生独立完成强化知识提升能力备选例题例1如图，在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M为BD中点，作AO⊥MC，交MC于O．求证：AO⊥平面BCD．【解析】连结AM∵AB=AD，CB=CD，M为BD中点．∴BD⊥AM，BD⊥CM．又AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM．≠≠∵AO平面ACM，∴BD⊥AO．又MC⊥AO，BD∩MC=M，∴AO⊥平面貌BCD．【评析】本题为了证明AO⊥平面BCD，先证明了平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面．这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决．例2已知棱长为1的正方体ABCD–,A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．【解析】取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO．由已知正方体，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO为所求．在Rt△EOA中，，，sin∠EAO=．所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为．【评析】求直线和平面所成角的步骤：（1）作——作出斜线和平面所成的角；（2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）（4）答．