高中数学苏教版必修2：模块综合试卷(二)

模块综合试卷(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列说法中正确的是________．(填序号)①棱柱的侧面可以是三角形；②正方体和长方体都是特殊的四棱柱；③所有的几何体的表面都能展成平面图形；④棱柱的各条棱都相等．答案②解析①不正确，棱柱的侧面都是四边形；③不正确，如球的表面就不能展成平面图形；④不正确，棱柱的各条侧棱都相等，但侧棱与底面的棱不一定相等；②正确．2．直线ax＋by＋4＝0和(1－a)x－y－b＝0都平行于直线x＋2y＋3＝0，则a＝________，b＝________.3答案32b＝2，a3a＝，2解析由题意知－1解得＝2，b＝3.1－a3．已知圆C22221：(x－2)＋(y－3)＝1，圆C2：(x－3)＋(y－4)＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．考点题点答案52－4解析由题意知，圆C22221：(x－2)＋(y－3)＝1，圆C2：(x－3)＋(y－4)＝9的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且PM＋PN≥PC1＋PC2－4，点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，所以PC1＋PC2＝PC＋PC2≥CC2＝52，即PM＋PN≥PC1＋PC2－4≥52－4.4．等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积的比值为________．3答案2解析设球的半径为R.等边圆柱的表面积S221＝2πR×2R＋2×πR＝6πR，球的表面积S2＝4πR2，,S216πR3所以＝＝.S224πR25．已知圆C的圆心为(2，－2)，且圆C上的点到y轴的最小距离是1，则圆C的标准方程为________________．答案(x－2)2＋(y＋2)2＝1解析由题意得圆C上的点到y轴的最小距离是1，得圆的半径r＝1，∵圆C的圆心为(2，－2)，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.6．已知两条不同的直线m，l，两个不同的平面α，β，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)答案①④解析①由直线与平面垂直的判定定理知①正确；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的直线可以平行、异面，故②错误；③两个平面内只有一组直线互相垂直并不能判定这两个平面垂直，故③错误；由两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直，故④正确；⑤两个平面平行，则两个平面内的直线可以平行、异面，故⑤错误．7．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点100，为Pa，则线段AB的长为________．答案10解析直线2x－y＝0的斜率为2，1x＋ay＝0的斜率为－.a11因为两直线垂直，所以－＝－，所以a＝2.a2所以直线方程为x＋2y＝0，线段AB的中点P(0,5)．设坐标原点为O，则OP＝5，在直角三角形中斜边的长度AB＝2OP＝2×5＝10，所以线段AB的长为10.8.如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，AB＝2，沿图中虚线将该正方形折,起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是________．1答案3解析折叠起来后，B，C，D三点重合，设为点S，则围成的三棱锥为S—AEF，其中，SA⊥SE，SA⊥SF，所以SA⊥平面SEF.又SE⊥SF，且SA＝2，SE＝SF＝1，1111所以此三棱锥的体积V＝S△SEF·SA＝××1×1×2＝.33239．直线y－1＝k(x－3)被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦长等于________．答案22解析直线y－1＝k(x－3)恒过定点P(3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C(2,2)与定点P(3,1)的连线垂直于弦，弦心距为2－32＋2－12＝2，∴所截得的最短弦长为222－22＝22.10．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为____________．答案x－y＋2＝0解析两圆的圆心分别为C1(0,0)，C2(－2,2)，由题意知，直线l是线段C1C2的垂直平分线，∴l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝23，则棱锥O—ABCD的体积为________．答案831解析如图所示，连结矩形对角线的交点O1和球心O，则AC＝43，O1A＝AC＝23，2,四棱锥的高为O2－2321O＝4＝2，1所以，体积为V＝×6×23×2＝83.312．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为______．答案4解析设C(t，t2)，由A(0,2)，B(2,0)，易求得直线AB的方程为y＝－x＋2.|t2＋t－2|∴点C到直线AB的距离d＝.2又∵AB＝22，12∴S△ABC＝×AB·d＝|t＋t－2|.2令|t2＋t－2|＝2，得t2＋t－2＝±2，∴t2＋t＝0或t2＋t－4＝0，符合题意的t值有4个，故满足题意的点C有4个．13.如图，在正四棱锥S—ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，当动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP∥BD；②EP⊥AC；③EP⊥平面SAC；④EP∥平面SBD.其中恒成立的为________．(填序号)答案②④解析如图所示，连结AC，BD相交于点O，,连结EM，EN.在①中，只有当点P与点M重合时，EP∥BD，故不正确；在②中，由正四棱锥S—ABCD，可得SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AC.又AC⊥BD，且SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP，故正确；在③中，由②同理可得EM⊥平面SAC，当点P与点M不重合时，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，因此当点P与点M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故不正确；在④中，由②可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，故正确．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，直线l：x＋y－4＝0，点B(x，y)是圆C：x2＋y2－2x－1＝0上的动点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，则线段DE的最大值是________．52答案2解析∵A(0,2)，AD⊥l，∴直线AD的方程为y＝x＋2，与x＋y＝4联立，得D(1,3)．依题意知，BE∥AD.设直线BE的方程为y＝x＋b，当直线BE与圆C相切时，可求得b＝－3或b＝1(结合图形知b＝1不合题意，舍去)．故直线BE的方程为y＝x－3.71y＝x－3，，由得点E的坐标为22，x＋y＝4，71－1－352所以DE22max＝2＋2＝.2,二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0，k∈R.(1)若直线l在x轴、y轴上的截距之和为1，求坐标原点O到直线l的距离；(2)若直线l与直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0分别相交于A，B两点，点P(0,2)到A，B两点的距离相等，求k的值．解(1)令x＝0，得直线l在y轴上的截距y0＝2；令y＝0，得直线l在x轴上的截距x0＝k－3，依题意得k－3＋2＝1，解得k＝2，所以直线方程为2x－y＋2＝0，|2|25所以原点O到直线l的距离d＝＝.12＋225(2)由于点P(0,2)在直线l上，点P到A，B的距离相等，所以点P为线段AB的中点．设直线l与2x－y－2＝0的交点为A(x，y)，则直线l与x＋y＋3＝0的交点为B(－x,4－y)，2x－y－2＝0，由方程组－x＋4－y＋3＝0，x＝3，解得即A(3,4)，y＝4，又点A在直线l上，所以有2×3＋(k－3)×4－2×k＋6＝0，即k＝0.16．(14分)如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD的中点，求三棱锥A—MBC的体积．(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)解∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD.,1∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝.211∵M为AD的中点，∴S△ABM＝S△ABD＝.24∵CD⊥平面ABD，11∴VA—MBC＝VC—ABM＝S△ABM·CD＝.31217．(14分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E—ABC的体积．(1)证明∵在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1.∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明取AB的中点G，连结EG，FG，∵F是BC的中点，1∴FG∥AC，FG＝AC.2∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG＝EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，,∴C1F∥EG.又∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE.(3)解∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，∴AB＝3，1∴VE—ABC＝S△ABC·AA13113＝××3×1×2＝.32318．(16分)已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；(2)若点P的坐标为(2,1)，过点P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝2时，求直线CD的方程．解(1)设P(2m，m)，由圆的半径为1，1∠MPA＝∠APB＝30°可知，MP＝2，2所以(2m)2＋(m－2)2＝4，4解得m＝0，m＝，584，故所求点P的坐标为P(0,0)或P55.(2)易知直线CD的斜率存在，设直线CD的方程为y－1＝k(x－2)．由题知圆心M到直线CD2|－2k－1|2的距离为，所以＝，整理得7k2＋8k＋1＝0，21＋k221解得k＝－1或k＝－，7故所求直线CD的方程为x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.19．(16分)如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1－BCD，如图(2)所示．,(1)若点M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；(2)求证：BD⊥A1F；(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直，并说明理由．(1)证明在图(1)△AFC中，因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF，在图(2)中仍然成立．又因为EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.(2)证明因为A1E⊥BD，EF⊥BD，且A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面A1EF，所以BD⊥平面A1EF.又因为A1F⊂平面A1EF，所以BD⊥A1F.(3)解直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，所以EF⊥平面A1BD.因为A1B⊂平面A1BD，所以A1B⊥EF.又因为EF∥DM，所以A1B⊥DM.假设A1B⊥CD.因为A1B⊥DM，CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD，所以A1B⊥BD，显然不成立，所以直线A1B与直线CD不能垂直．20．(16分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线x－3y＋2＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)在圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．解(1)设圆心为(x0,0)(x0>0)，|x0＋2|它到直线x－3y＋2＝0的距离d＝＝2，1＋3解得x0＝2或x0＝－6(舍去)．∴所求圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)∵点M(m，n)在圆C上，∴(m－2)2＋n2＝4，,n2＝4－(m－2)2＝4m－m2且0≤m≤4.又∵原点到直线l：mx＋ny＝1的距离11d＝＝<1，m2＋n24m1解得