第三章函数的概念与性质3幂函数训练（附解析新人教A版必修第一册）

幂函数A级——基础过关练1．下列函数：①y＝x3；②y＝4x2；③y＝x5＋1；④y＝(x－1)2；⑤y＝x.其中幂函数的个数为(　　)A．1　　B．2　　C．3　　D．4【答案】B　【解析】②中系数不是1，③中解析式为多项式，④中底数不是自变量本身，所以只有①⑤是幂函数．故选B．2．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)A．n<m<0B．m<n<0C．n>m>0D．m>n>0【答案】A　【解析】由图象可知两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C1，C2的图象可知n<m.3．(2020年郑州月考)已知幂函数f(x)＝2kxm的图象过点(，4)，则k＋m＝(　　)A．4　　B．　　C．5　　D．【答案】B　【解析】因为幂函数f(x)＝2kxm，所以2k＝1，解得k＝.又因为图象过点(，4)，所以()m＝4，m＝4，则k＋m＝.故选B．4．函数y＝x－的图象大致是(　　)5 ABCD【答案】D　【解析】由幂函数的性质知函数y＝x－在第一象限为减函数，且它的定义域为{x|x＞0}．5．(2021年沈阳期末)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是(　　)A．(0，1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)【答案】B　【解析】当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象．由图象可知α＜1时满足题意．故选B．6．(2020年朔州高一期中)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＝________．【答案】　【解析】设幂函数为f(x)＝xα，因为过，所以f＝，所以＝⇒2－＝⇒α＝，所以f(3)＝3＝.7．已知幂函数f(x)＝xα图象经过点P(2，)，则α＝________，函数y＝f(x2)－2f(x)的最小值等于________．【答案】　－1　【解析】幂函数f(x)＝xα图象经过点P(2，)，则2α＝，解得α＝.所以f(x)＝x，所以函数y＝f(x2)－2f(x)＝(x2)－2x＝x－2＝(－1)2－1.当x＝1时，函数y的最小值为－1.8．(2020年武汉高一期中)已知幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z5 )为偶函数，且满足f(3)＜f(5)，则m＋n＝________．【答案】2　【解析】因为幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，所以解得m＝1，且n＝1，3，5，….因为满足f(3)＜f(5)，即3－2n2＋n＋3＜5－2n2＋n＋3，故－2n2＋n＋3为正偶数，所以n＝1.则m＋n＝1＋1＝2.9．比较下列各组数的大小．(1)3－和3.2－；(2)4.1和3.8－.解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数．又3＜3.2，所以3－＞3.2－.(2)4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1，所以4.1＞3.8－.B级——能力提升练10．(2020年武汉高一期中)若幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2－2m－3的图象不经过原点，则m的值为(　　)A．2B．－3C．3D．－3或2【答案】A　【解析】由幂函数定义得m2＋m－5＝1，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，m2－2m－3＝12，f(x)＝x12，过原点，不符合题意，故m＝－3舍去；当m＝2时，m2－2m－3＝－3，f(x)＝x－3，显然不过原点，符合条件．故选A．11．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是(　　)A．－1B．－2C．－3D．－45 【答案】C　【解析】由已知得2α＝，解得α＝－1，所以g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3.故选C．12．(多选)(2021年德州期末)已知实数a，b满足等式a＝b，则下列式子可能成立的是(　　)A．0<b<a<1B．－1<a<b<0C．1<a<bD．a＝b【答案】ACD　【解析】首先画出y1＝x与y2＝x的图象(如图)，已知a＝b＝m，作直线y＝m.若m＝0或m＝1，则a＝b；若0<m<1，则0<b<a<1；若m>1，则1<a<b.从图象知，可能成立的是ACD．13．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．【答案】(－∞，0)　【解析】因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.14．(2021年南昌模拟)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)≤3的解集是________．【答案】{x|－9≤x≤9}　【解析】由表中数据知＝，∴α＝，∴f(x)＝x，∴|x|≤3，即|x|≤9，故－9≤x≤9.15．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．(1)求f的值；(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．解：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3.5 当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，所以不满足题意，所以m＝2舍去；当m＝3时，f(x)＝x－4，满足题意，所以f(x)＝x－4，所以f＝＝16.(2)由f(x)＝x－4为偶函数且f(2a＋1)＝f(a)，得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，解得a＝－1或a＝－.C级——探究创新练16．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－时a的取值范围．解：因为函数在(0，＋∞)上递减，所以3m－9＜0，解得m＜3.因为m∈N*，所以m＝1，2.又函数图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.所以(a＋1)－＜(3－2a)－.又因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，所以a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，解得＜a＜或a＜－1.故a的取值范围是.5