第二章直线和圆的方程2.3直线的一般式方程提升训练（附解析新人教A版选择性必修第一册）

直线的一般式方程基础过关练题组一　求直线的一般式方程　　　　　　　　　　　　　　　　1.(2021江西临川二中高二上第一次月考)已知直线l过点(0,3),且与直线x-y-1=0平行,则l的方程是(　　)A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=02.过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为(　　)A.x-2y+4=0B.2x+y-7=0C.x-2y+3=0D.x-2y+5=03.在平面直角坐标系中,直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是(　　)A.x-2y+4=0B.x+2y-4=0C.x-2y-4=0D.x+2y+4=04.已知直线l经过点P(2,3),且斜率为-32.(1)求直线l的一般式方程;(2)求与直线l平行,且过点(-3,1)的直线的一般式方程;(3)求与直线l垂直,且过点(-3,1)的直线的一般式方程.题组二　直线方程几种形式的相互转化　　　　　　　　　　　　　　　　5.(2021重庆八中高二上月考)直线3x+y+1=0的倾斜角为(　　)A.π6B.π3C.2π3D.-π36.(2020湖北宜昌高二上期末)直线3x+2y+6=0在y轴上的截距为b,则b=(　　)A.3B.-2C.2D.-37.已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有直线都恒过点(　　)A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)8,8.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图形可能是(　　)9.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是　(　　)A.12abB.12abC.12abD.12|ab|题组三　直线一般式方程的综合应用10.(2020北京清华大学附中高二上期中)若直线ax+2y-1=0与x-2y-1=0垂直,则a的值为(　　)A.1B.-1C.4D.-411.(2021河北保定唐县一中高二上月考)若直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y+4=0平行,则m的值为(　　)A.1B.-2C.1或-2D.-2312.(2020浙江温州高二上期末)已知直线l:(m2+1)x-2y+1=0(m为常数),若直线l的斜率为12,则m=　　　　,若m=-1,则直线l的倾斜角为　　　　. 13.如图,某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示.(1)求直线AB的方程;(2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李?能力提升练题组一　求直线的一般式方程1.()已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　8,A.2x+y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+y-1=0D.x+2y+1=02.()已知过点M(2,1)的直线与x轴、y轴分别交于P,Q两点.若M为线段PQ的中点,则这条直线的方程为(　　)A.2x-y-3=0B.2x+y-5=0C.x+2y-4=0D.x-2y+3=03.()已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为　　　　　　　. 4.(2021山东济宁实验中学高二月考,)直线l过点(4,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为　　　　,当△AOB面积取最小值时,直线l的一般式方程是　　　　　　　. 5.(2021山东枣庄八中高二上月考,)求适合下列条件的直线方程:(1)经过点A(2,-3),并且其倾斜角等于直线x-3y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程;(2)经过点A(-2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.题组二　直线一般式方程的应用6.(2020湖北武汉华中师大一附中高二上期中,)“m=1”是“直线(m+4)x+3my+1=0与(m-4)x+(m+4)y-5=0垂直”的(　　)A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.(2020安徽安庆一中高二上月考,)设A(-2,2),B(1,1),若直线l:ax+y+1=0与线段AB有交点,则a的取值范围是(　　)A.-∞,-32∪[2,+∞)B.-32,2C.(-∞,-2]∪32,+∞D.-2,328,8.(多选)(2021山东新泰中学高二上月考,)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是(　　)A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0C.直线l过定点(0,1)D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等9.()直线xsinα+y+2=0(α∈R)的倾斜角的取值范围是　　　　. 10.(2020辽宁六校协作体高二上期中,)直线l:mx+y-1-m=0过定点　　　　,过此定点,且倾斜角为π2的直线方程为　　　　　　　. 11.()已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k=　　　　. 12.(2020湖北宜昌高二上期末,)(1)已知直线l1:2x+7y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值;(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,求a的值.深度解析答案全解全析基础过关练1.D　设直线l的方程为x-y+c=0(c≠-1),由点(0,3)在直线x-y+c=0上得0-3+c=0,解得c=3,因此直线l的方程为x-y+3=0,故选D.2.A　设垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为x-2y+c=0,由点(2,3)在直线x-2y+c=0上,得2-6+c=0,解得c=4,因此所求的直线方程为x-2y+4=0,故选A.3.D　直线2x-y-2=0与y轴的交点为A(0,-2),∵直线2x-y-2=0的斜率为2,∴所求直线的斜率为-12,∴所求直线的方程为y+2=-12x,即x+2y+4=0,故选D.4.解析　(1)由题意知直线l的方程为y-3=-32(x-2),即3x+2y-12=0.8,(2)设所求直线的方程为3x+2y+m=0(m≠-12),因为所求直线过点(-3,1),所以-9+2+m=0,解得m=7,故所求直线的一般式方程为3x+2y+7=0.(3)设所求直线的方程为2x-3y+n=0,因为所求直线过点(-3,1),所以-6-3+n=0,解得n=9,故所求直线的一般式方程为2x-3y+9=0.5.C　将直线的方程3x+y+1=0化为斜截式,得y=-3x-1,因此直线的斜率k=-3,设直线的倾斜角为α,则tanα=-3,因为α∈[0,π),所以α=2π3,即倾斜角为2π3,故选C.6.D　将直线的方程3x+2y+6=0化为截距式,得x-2+y-3=1,所以b=-3,故选D.7.C　将直线方程kx-y+1-3k=0化为点斜式方程为y-1=k(x-3),所以直线过定点(3,1).8.C　由题意知,直线方程可化为y=-abx-cb,∵ac<0,bc<0,∴ab>0,-cb>0,∴-ab<0,故直线的斜率小于0,在y轴上的截距大于0.故选C.9.D　将方程化为截距式为x1a+y1b=1,∴三角形的面积S=121a1b=12|ab|.10.C　因为直线ax+2y-1=0与x-2y-1=0垂直,所以a-4=0,解得a=4.故选C.11.A　由直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y+4=0平行,得1×2=m(1+m),m≠-2,解得m=1.故选A.12.答案　0;45°解析　由题得-m2+1-2=12,∴m=0.若m=-1,则直线的斜率k=-2-2=1,所以直线的倾斜角为45°.13.信息提取　①行李票费用y(元)与行李质量x(千克)呈线性关系;②由图中标出的坐标知A(60,6),B(80,10);③A,B两点在直线上.数学建模　以行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系为背景构建直线方程.解析　(1)由题图知点A(60,6),B(80,10).由直线方程的两点式得x-6080-60=y-610-6,整理得x-5y-30=0.(2)依题意,令y=0,解得x=30,即旅客最多可免费携带30千克的行李.能力提升练8,1.A　因为点A(2,1)在直线a1x+b1y+1=0上,所以2a1+b1+1=0,由此可知点P1(a1,b1)在直线2x+y+1=0上.因为点A(2,1)在直线a2x+b2y+1=0上,所以2a2+b2+1=0,由此可知点P2(a2,b2)在直线2x+y+1=0上.所以过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是2x+y+1=0.2.C　设所求直线的方程为y-1=k(x-2).令x=0,得y=1-2k,所以Q点坐标为(0,1-2k),又因为M为线段PQ的中点,P点纵坐标为0,所以根据中点坐标公式得0+(1-2k)2=1,解得k=-12,故所求直线的方程为x+2y-4=0.3.答案　x-y+1=0解析　当线段AB最短时,AB⊥l,所以kAB=1.所以直线AB的方程为y=x+1,化为一般式方程为x-y+1=0.4.答案　8;x+4y-8=0解析　设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0).由点(4,1)在直线上知4a+1b=1.∵a>0,b>0,∴1=4a+1b≥24a·1b=4ab,当且仅当4a=1b,即a=8,b=2时取等号.从而ab≥4,即ab≥16,∴S△AOB=12ab≥8,∴△AOB面积的最小值为8,此时直线l的方程为x8+y2=1,即x+4y-8=0.5.解析　(1)直线x-3y+1=0的斜率为33,所以其倾斜角为30°,所以所求直线的倾斜角为60°,故所求直线的斜率为3,又所求直线经过点A(2,-3),所以其方程为y+3=3(x-2),即3x-y-3-23=0.(2)设直线方程为xa+yb=1,则12|ab|=1,-2a+2b=1,解得a=2,b=1或a=-1,b=-2.故所求的直线方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.6.B　两直线垂直⇔(m+4)(m-4)+3m(m+4)=0⇔(m+4)(m-1)=0⇔m=1或m=-4.∵{1}⫋{1,-4},∴“m=1”是“直线(m+4)x+3my+1=0与(m-4)x+(m+4)y-5=0垂直”的充分不必要条件,故选B.7.C　由ax+y+1=0得,y=-ax-1,因此直线l过定点P(0,-1),若直线l斜率存在,则斜率k=-a.8,如图所示,当直线l由直线PA按顺时针方向旋转到直线PB的位置时,符合题意.易得kPB=1-(-1)1-0=2,kPA=2-(-1)-2-0=-32.结合图形知,-a≥2或-a≤-32,解得a≤-2或a≥32.故选C.8.AC　对于A项,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与x+y=0垂直,所以正确;对于B项,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)·(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,所以不正确;对于C项,当x=0时,y=1,所以直线过定点(0,1),所以正确;对于D项,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,在x轴,y轴上的截距分别是-1,1,所以不正确.故选AC.9.答案　0,π4∪3π4,π解析　直线xsinα+y+2=0的斜率k=-sinα,∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1,∴直线的倾斜角的取值范围是0,π4∪3π4,π.10.答案　(1,1);x=1解析　直线l的方程可化为m(x-1)+(y-1)=0,令x-1=0,y-1=0,得x=1,y=1.故直线l过定点(1,1).当倾斜角为π2时,直线垂直于x轴,所以其方程为x=1.11.答案　±1解析　如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴,y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1).由点C在线段OB上知l2⊥l1或l2与x轴交于D点,且∠BCD+∠BAD=180°.①由l1⊥l2知,1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.②由∠BCD+∠BAD=180°得,∠BAD=∠OCD.8,设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)⇒α1=270°-α2⇒tanα1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)=sin(90°-α2)cos(90°-α2)=cosα2sinα2=1tanα2⇒tanα1·tanα2=1,∴-13×3k=1⇒k=-1.综上所述,k的值为±1.12.解析　(1)直线方程可化为l1:y=-27x-47,l2:y=-m3x+23.依题意得,-m3=-27,解得m=67.(2)∵l1⊥l2,∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.将a=±1代入方程,均满足题意.故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.方法技巧　已知直线的一般式方程,如果含参数的直线不能判断斜率存在,直接利用一般式的结论解决问题可以避免分类讨论.8