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高中数学课时作业6函数的极值与导数(附解析新人教A版选修2-2)
高中数学课时作业6函数的极值与导数(附解析新人教A版选修2-2)
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函数的极值与导数(建议用时:40分钟)一、选择题1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个B [依题意,记函数y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1,x2,x3,x4,当a<x<x1时,f′(x)>0;当x1<x<x2时,f′(x)<0;当x2<x<x4时,f′(x)≥0;当x4<x<b时,f′(x)<0.因此,函数f(x)分别在x=x1,x=x4处取得极大值,选B.]2.设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2D [法一:函数f(x)=a(x-a)2(x-b)=(x-a)2(ax-ab),求导得f′(x)=2(x-a)(ax-ab)+a(x-a)2=a(x-a)(3x-a-2b).令f′(x)=0,结合a≠0可求得x=a或x=.(1)当a>0时,①若>a,即b>a,此时易知函数f(x)在(-∞,a)上单调递增,在上单调递减,所以x=a为函数f(x)的极大值点,满足题意;②若=a,即b=a,此时函数f(x)=a(x-a)3在R上单调递增,无极值点,不满足题意;③若<a,即b<a,此时易知函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以x=a为函数f(x)的极小值点,不满足题意.(2)当a<0时,①若>a,即b>a,此时易知函数f(x)在(-∞,a)上单调递减,在上单调递增,所以x=a为函数f(x)的极小值点,不满足题意;6 ②若=a,即b=a,此时函数f(x)=a(x-a)3在R上单调递减,无极值点,不满足题意;③若<a,即b<a,此时易知函数f(x)在上单调递增,在(a,+∞)上单调递减,所以x=a为函数f(x)的极大值点,满足题意.综上可知:当a>0且b>a时满足题意,当a<0且b<a时也满足题意.据此可知,必有ab>a2成立.故选D.法二:当a=1,b=2时,函数f(x)=(x-1)2(x-2),作出该函数的图象(图略),观察可知x=1为函数的极大值点,满足题意.所以根据a=1,b=2可判断选项B,C错误.当a=-1,b=-2时,函数f(x)=-(x+1)2(x+2),作出该函数的图象(图略),观察可知x=-1为函数的极大值点,满足题意.所以根据a=-1,b=-2可知选项A错误.故选D.]3.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )A.-4B.-2C.4D.2D [∵f(x)=x3-12x,∴f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0,则x1=-2,x2=2.当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)单调递增;当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,则f(x)单调递减,∴f(x)的极小值点为a=2.]4.当x=1时,三次函数有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是( )A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9xB [∵三次函数过原点,故可设为y=x3+bx2+cx,∴y′=3x2+2bx+c.又x=1,3是y′=0的两个根,∴,即∴y=x3-6x2+9x,又y′=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)∴当x=1时,f(x)极大值=4,当x=3时,f(x)极小值=0,满足条件,故选B.]5.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有且只有一个极小值,则( )A.0<b<1B.b<1C.b>0D.b<A [f′(x)=3x2-3b,要使f(x)在(0,1)内有极小值,则即6 解得0<b<1.]二、填空题6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b=________.-2 [∵f′(x)=3x2+2ax+b,∴即解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.]7.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为________.(-∞,-1) [∵y=ex+ax,∴y′=ex+a,令y′=ex+a=0,则ex=-a,即x=ln(-a),又∵x>0,∴-a>1,即a<-1.]8.若直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是________.(-2,2) [令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,则极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.如图,观察得-2<a<2时恰有三个不同的公共点.]三、解答题9.求函数f(x)=x2e-x的极值.[解] 函数的定义域为R,f′(x)=2xe-x+x2·=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x,令f′(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘0↗4e-2↘由上表可以看出,当x=0时,函数有极小值,且为f(0)=0;当x=2时,函数有极大值,且为f(2)=4e-2.10.设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a;6 (2)设函数g(x)=,证明:g(x)<1.[解] (1)由题意得y=xf(x)=xln(a-x),则y′=ln(a-x)+x[ln(a-x)]′.因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,所以y′|x=0=lna=0,所以a=1.(2)由(1)可知,f(x)=ln(1-x),其定义域为{x|x<1},当0<x<1时,ln(1-x)<0,此时xf(x)<0.当x<0时,ln(1-x)>0,此时xf(x)<0,易知g(x)的定义域为{x|x<1且x≠0},故要证g(x)=<1,只需证x+f(x)>xf(x),即证x+ln(1-x)-xln(1-x)>0,令1-x=t,则t>0且t≠1,则只需证1-t+lnt-(1-t)lnt>0,即证1-t+tlnt>0.令h(t)=1-t+tlnt,则h′(t)=-1+lnt+1=lnt,所以h(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以h(t)>h(1)=0,即g(x)<1成立.1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为( )A.-B.-2C.-2或-D.不存在A [∵f′(x)=3x2+2ax+b且f(x)在x=1处取得极大值10,∴f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,∴a2+8a+12=0,∴a=-2,b=1或a=-6,b=9.当a=-2,b=1时,f′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).当<x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,∴f(x)在x=1处取得极小值,与题意不符.当a=-6,b=9时,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3);当x<1时,f′(x)>0,当1<x<3时,f′(x)<0,∴f(x)在x=1处取得极大值,符合题意;∴=-=-.]6 2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)·f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)D [由图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.]3.函数y=xex在其极值点处的切线方程为________.y=- [由题知y′=ex+xex,令y′=0,解得x=-1,代入函数解析式可得极值点的坐标为,又极值点处的切线为平行于x轴的直线,故方程为y=-.]4.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为________.[1,5) [∵f′(x)=3x2+2x-a,函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,即f′(x)=0在(-1,1)内恰有一个根.又函数f′(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-.∴应满足∴∴1≤a<5.]5.设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求f(x)的极值;(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?[解] (1)f′(x)=3x2-2x-1.令f′(x)=0,则x=-或x=1.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:6 x-1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f=+a,极小值是f(1)=a-1.(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,由此可知,x取足够大的正数时,有f(x)>0,x取足够小的负数时,有f(x)<0,所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.由(1)知f(x)极大值=f=+a,f(x)极小值=f(1)=a-1.∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0,即+a<0或a-1>0,∴a<-或a>1,∴当a∈∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.6
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