高中数学课时作业16数学归纳法（附解析新人教A版选修2-2）

数学归纳法(建议用时：40分钟)一、选择题1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证(　　)A．n＝1　　　　B．n＝2C．n＝3D．n＝4C　[由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．]2．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　)A．Sk＋B．Sk＋＋C．Sk＋－D．Sk＋－C　[因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－，故Sk＋1＝Sk＋－.]3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　)A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项D　[当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．]4．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即<k＋1，则n＝k＋1时，5 ＝<＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　)A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确D　[n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.]5．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对B　[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．]二、填空题6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步验证的表达式为________．21＋1≥12＋1＋2　[当n＝1时，左边≥右边，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．]7．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________．2k＋2　[当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)．]8．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．an＝　[a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝.]5 三、解答题9．(1)用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n·(2n＋1)(n∈N*)．[证明]　(1)①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·.则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)·＝(－1)k·.∴当n＝k＋1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立．(2)①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．10．已知{fn(x)}满足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x)).(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想．[解]　(1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，5 f3(x)＝f1[f2(x)]＝＝，猜想：fn(x)＝(n∈N*)．(2)下面用数学归纳法证明，fn(x)＝(n∈N*)．①当n＝1时，f1(x)＝，显然成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即fk(x)＝，则当n＝k＋1时，fk＋1＝f1[fk(x)]＝＝，即对n＝k＋1时，猜想也成立；结合①②可知，猜想fn(x)＝对一切n∈N*都成立．1．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是(　　)A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对C　[不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．]2．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得(　　)A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立5 C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝4时，该命题成立C　[若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．]3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.π　[由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.]4．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.5　[当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.]5．是否存在a，b，c使等式＋＋＋…＋＝对一切n∈N*都成立，若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．[解]　取n＝1,2,3可得解得：a＝，b＝，c＝.下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝＝.即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立．由数学归纳法，综合①②知当n∈N*等式成立，故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立．5