第四章指数函数对数函数与幂函数习题课指数函数及其性质的应用练习（附解析新人教B版必修第二册）

习题课　指数函数及其性质的应用必备知识基础练1.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图像大致是(　　)答案B解析函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),由于指数函数是单调函数,则有a>1.由底数大于1知指数函数的图像上升,且在x轴上方,可知B正确.2.函数f(x)=的单调递增区间为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,1)D.(1,+∞)答案A解析令u(x)=x2-1,∵f(x)=,0<<1,∴f(x)的单调递增区间为u(x)=x2-1的单调递减区间,即(-∞,0).3.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是(　　)A.2B.C.3D.答案AB解析当a>1时,指数函数y=ax单调递增,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=a,最小值ymin=.所以a+=5,求得a=2或a=(舍);5 当0<a<1时,指数函数y=ax单调递减,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=,ymin=a,所以a+=5,求得a=2(舍)或a=.综上所述,a=2或a=.4.设函数f(x)=,则函数f的定义域为(　　)A.(-∞,4]B.-∞,C.(0,4]D.0,答案A解析因为f(x)=,所以f=,因为4-≥0,即≤4,所以≤1,x≤4,所以f的定义域为(-∞,4].5.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f=2,则不等式f(2x)>2的解集为　　　　. 答案(-1,+∞)解析∵f(x)是偶函数,且f=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.由f(2x)>2,得2x>,即2x>2-1,∴x>-1,即不等式f(2x)>2的解集是(-1,+∞).6.已知a>0且a≠1,若函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上的最大值为10,则a=　　　　. 答案解析若a>1,则函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上单调递增,当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10,即a2=7,又a>1,所以a=.若0<a<1,则函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上单调递减,当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,所以a=.综上所述,a的值为.7.设函数f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)>30;(2)当x∈(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.5 解设2x=t(t>0),则y=t2-2a·t-a,(1)当a=2时,f(x)>30⇔y=t2-4t-32>0,∴t<-4或t>8.∵t>0,∴t>8,∴2x>8,∴x>3,∴不等式的解集为{x|x>3}.(2)由题意得,当x∈(-1,1)时,必有函数图像的对称轴t0=2a-1∈,即0<a<2,故函数的最小值为m==-2,∴a+22a-2=2,由于关于a的函数y=a+22a-2单调递增,故最多有一个实根,而当a=1时,a+22a-2=2,∴a的值为1.关键能力提升练8.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是(　　)A.(-3,1)B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-∞,-3)D.(1,+∞)答案A解析当a<0时,-7<1⇔<8⇔2-a<23⇔-a<3⇔a>-3,∴-3<a<0.当a≥0时,<1⇔a<1,∴0≤a<1.综上,-3<a<1.故选A.9.(多选题)已知函数f(x)=2-x-2x.下列四个结论中正确的是(　　)A.f(0)=0B.f(x)是奇函数C.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解答案ABD5 解析f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;f(x)的定义域为R,f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;f(x)=-2x在R上是减函数,C错误;由于x→-∞时,f(x)→+∞;x→+∞时,f(x)→-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),它又是R上的减函数,因此对任意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.10.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)=　　　　;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为　　　　　. 答案2-x-4　{x|x<0或x>4}解析设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2-x-4.又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.于是f(x-2)>0可化为解得x>4或x<0.11.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　　. 答案解析由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,|a-1|<,解得<a<.学科素养创新练12.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求m,n的值;(2)当x∈时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.解(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数,∴f(0)=0,∴n=1.又由f(-1)=-f(1),得m=2.检验知,当m=2,n=1时,原函数是奇函数.(2)由(1)知f(x)==-,任取x1,x2∈R,设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=.∵函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,5 ∴<0.又(+1)(+1)>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),∴函数f(x)在R上是减函数.∵f(x)是奇函数,∴不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x).又f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x,即对一切x∈有k<恒成立.设g(x)=-2·,令t=,t∈,则有h(t)=t2-2t,t∈,∴g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,∴k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1).5