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5向量的数量积课时检测(附解析新人教A版必修第二册)
5向量的数量积课时检测(附解析新人教A版必修第二册)
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向量的数量积[A级 基础巩固]1.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是( )A.60° B.120°C.30°D.150°解析:选A 向量-a与-b的夹角与a与b的夹角相等,夹角为60°.2.设e1和e2是互相垂直的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则a·b等于( )A.-2B.-1C.1D.2解析:选B 因为|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.故选B.3.若向量a,b满足|b|=2,a为单位向量,且a与b夹角为θ=,则b在a上的投影向量为( )A.aB.-aC.2aD.-2a解析:选B |b|cosθa=2×cosa=2×a=-a,即b在a上的投影向量为-a.4.(多选)下列命题中,正确的是( )A.对于任意向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|B.若a·b=0,则a=0或b=0C.对于任意向量a,b,有|a·b|≤|a||b|D.若a,b共线,则a·b=±|a||b|解析:选ACD 由向量加法的三角形法则可知选项A正确;当a⊥b时,a·b=0,故选项B错误;因为|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,故选项C正确;当a,b共线同向时,a·b=|a||b|cos0°=|a||b|,当a,b共线反向时,a·b=|a||b|cos180°=-|a||b|,所以选项D正确.故选A、C、D.5.已知平面上三点A,B,C,满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值等于( )A.-7B.7C.25D.-255 解析:选D 由条件知∠ABC=90°,∴原式=0+·(+)=·=-2=-25.6.已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则|a+2b|=________.解析:根据题意,得|a+2b|==.答案:7.已知等腰△ABC的底边BC长为4,则·=________.解析:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.因为AB=AC,所以BD=BC=2,于是||cos∠ABC=||=||=×4=2.所以·=||||cos∠ABC=2×4=8.答案:88.已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是________,a·(a+b)=________.解析:由题意,设向量a,b的夹角为θ.因为|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=|a|2-a·b=|a|2-|a||b|cosθ=3-2·cosθ=0,解得cosθ=.又因为0≤θ≤π,所以θ=.则a·(a+b)=|a|2+|a||b|·cosθ=3+2×=6.答案: 69.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a·b的值;(2)求|a+b|.解:(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b=-6.(2)由(1),得|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|=.5 10.如图,在平面内将两块直角三角板拼接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量,;(2)若|b|=1,求·.解:(1)由题意可知,=a-b,AC∥BD,BD=BC=AC.∴=b,则=+=a+b,=-=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos45°=1,则·=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.[B级 综合运用]11.定义:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( )A.8B.-8C.8或-8D.6解析:选A cosθ===-,∵θ∈[0,π],∴sinθ=,∴|a×b|=2×5×=8.故选A.12.(多选)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是( )A.|a+b|=1B.a⊥bC.(4a+b)⊥bD.a·b=-1解析:选CD 分析知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误;(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,∴|a+b|=,故A错误;(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正确;a·b=1×2×cos120°=-1,故D正确.13.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为________.解析:由题意可画出图形,在△OAB中,因为∠OAB=60°,|b|=2|a|,所以∠ABO=30°,OA⊥OB,即向量a与c的夹角为90°.答案:90°5 14.如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,则=x+y.(1)若=,求x,y的值;(2)若=3,||=4,||=2,且与的夹角为60°,求·的值.解:(1)若=,则=+,故x=y=.(2)因为||=4,||=2,∠BOA=60°,所以∠OBA=90°,所以||=2.又因为=3,所以||=.所以||==,cos∠OPB=.所以与的夹角θ的余弦值为-.所以·=||||cosθ=-3.[C级 拓展探究]15.已知向量a,b,c满足|a|=,|b|=,a·b=-5,c=xa+(1-x)b.(1)若b⊥c,求实数x的值;(2)当|c|取最小值时,求向量a与c的夹角的余弦值.解:(1)当b⊥c时,b·c=0,即b·c=xa·b+(1-x)b2=0,-5x+5(1-x)=0,解得x=.(2)c2=x2a2+2x(1-x)a·b+(1-x)2b2=25x2-20x+5=25+1,当x=时,|c|取最小值1,此时,c=a+b.设向量a与c的夹角为θ,则a·c=|a|·|c|cosθ=a·=1,解得cosθ=5 ,故当|c|取最小值时,向量a与c的夹角的余弦值为.5
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