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13基本初等函数的导数课后练习(附解析新人教B版选择性必修第三册)
13基本初等函数的导数课后练习(附解析新人教B版选择性必修第三册)
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基本初等函数的导数(建议用时:40分钟)一、选择题1.下列结论正确的是( )A.若y=cosx,则y′=sinxB.若y=sinx,则y′=-cosxC.若y=,则y′=-D.若y=,则y′=C [∵(cosx)′=-sinx,∴A不正确;∵(sinx)′=cosx,∴B不正确;∵()′=,∴D不正确.]2.在曲线f(x)=上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )A.(1,1) B.(-1,-1)C.(-1,1)D.(1,1)或(-1,-1)D [切线的斜率k=tanπ=-1,设切点为(x0,y0),则f′(x0)=-1,又f′(x)=-,∴-=-1,∴x0=1或-1,∴切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选D.]3.若函数f(x)=10x,则f′(1)等于( )A.B.10C.10ln10D.C [∵f′(x)=10xln10,∴f′(1)=10ln10.]4.已知曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b=( )A.4 B.-4 C.28 D.-28C [∵y′=3x2,4 ∴点(2,8)处的切线斜率k=f′(2)=12.∴切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16,∴k=12,b=-16,∴k-b=28.]5.若f(x)=sinx,f′(α)=,则下列α的值中满足条件的是( )A.B.C.πD.πA [∵f(x)=sinx,∴f′(x)=cosx.又∵f′(α)=cosα=,∴α=2kπ±(k∈Z).当k=0时,α=.]二、填空题6.若f(x)=,且f′(α)=,则α=________.4 [因为f′(x)=,所以f′(α)==,解得α=4.]7.已知函数y=f(x)的图像在M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f′(1)=__________.3 [依题意知,f(1)=×1+2=,f′(1)=,∴f(1)+f′(1)=+=3.]8.直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b=________.ln2-1 [设切点坐标为(x0,y0),则y0=lnx0.∵y′=(lnx)′=,由题意知=,∴x0=2,y0=ln2.由ln2=×2+b,得b=ln2-1.]三、解答题9.若质点P的运动方程是s=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8s时的瞬时速度.[解] ∵s′=()′=(t)′=t,4 ∴s′|t=8=×8=×2-1=,∴质点P在t=8s时的瞬时速度为m/s.10.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点.(1)求过点P,Q的曲线y=x2的切线方程;(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.[解] (1)因为y′=2x.P(-1,1),Q(2,4)都是曲线y=x2上的点.过P点的切线的斜率k1=-2,过Q点的切线的斜率k2=4,过P点的切线方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0.过Q点的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)直线PQ的斜率k==1,设切点为(x0,x),因为y′=2x,所以切线的斜率k=2x0=1,所以x0=,所以切点M,与PQ平行的切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0.1.已知函数f(x)=lnx的图像在(a,f(a))处的切线斜率为k(a),则“a>2”是“k(a)<”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A [因为f(x)=lnx,所以f′(x)=(x>0),k(a)=(a>0),若k(a)<,则<,解得a>2,故“a>2”是“k(a)<”的充要条件,故选A.]2.(多选题)下列曲线的切线中,不存在互相垂直的切线的曲线是( )A.f(x)=exB.f(x)=x3C.f(x)=lnxD.f(x)=sinx4 ABC [若存在互相垂直的切线,则其斜率之积为-1,或一条切线的斜率不存在,另一条切线的斜率为0.A中,f′(x)=ex>0,B中f′(x)=3x2≥0,C中f′(x)=>0,故ABC中均不存在互相垂直的切线方程.而D中f′(x)=cosx,其可正可负,一定存在使cosx1·cosx2=-1的情形,故选ABC.]3.若曲线y=x在点(a,a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=________.64 [因为y′=-x,所以曲线y=x在点(a,a)处的切线方程为:y-a=-a(x-a),令x=0得y=a,令y=0得x=3a,所以×a×3a=18,解得a=64.]4.曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线方程为_________,其与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·…·xn=______.y=(n+1)x-n [∵y′=(n+1)xn,∴y′|x=1=n+1.∴曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即y=(n+1)x-n.令y=0得x=,∴xn=,∴x1·x2·…·xn=×××…×=.]点P是f(x)=x2上任意一点,求点P到直线y=x-1的最短距离.[解] 与直线y=x-1平行的f(x)=x2的切线的切点到直线y=x-1的距离最小.设切点为(x0,y0),则f′(x0)=2x0=1,∴x0=,y0=.即P到直线y=x-1的距离最短.∴d==.4
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