高中数学人教A版必修5课件：第2章 数列 2.2 第2课时 等差数列的性质

第2课时　等差数列的性质,自主学习新知突破,1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．2．理解等差数列的性质．3．掌握等差数列的性质及其应用．,等差数列中项与序号的关系,(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为___的等差数列．(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为____________的等差数列．等差数列的性质dcd2dpd1＋qd2,对等差数列的性质的理解(1)第一条性质是指等号两边都是和，等号两边都是两项．特别地，当m＋n＝2r时(m，n，r∈N*)am＋an＝2ar.(2)从等差数列{an}中，等距离抽取一项，所得的数列仍为等差数列，当然公差也随之发生变化．,(3)将等差数列各项都乘以同一个常数k，所得数列仍为等差数列，公差为kd.(4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取，实际上是3a2,3a5,3a8…当然成等差数列．对于每2项，4项，5项…抽取，道理是相同的．(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…,1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()A．4B．5C．6D．7解析：a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6.答案：C,2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于()A．40B．42C．43D．45解析：∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋3×3d＝42.答案：B,3．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.解析：∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.答案：15,4．在等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.解析：方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48，∴4a13＝48，∴a13＝12.,,,合作探究课堂互动,等差数列性质的应用在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.[思路点拨]由题目可获取以下主要信息：①数列{an}为等差数列；②a2＋a3＋a10＋a11＝36；③求a5＋a8.解答本题可利用性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，也可引入公差d和首项a1对已知和所求进行化简求解．,解析：方法一：根据等差数列的性质可得：a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.方法二：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋a8＝18.答案：18,法一运用了等差数列的性质，若p＋q＝m＋n(p，q，m，n∈N*)，则ap＋aq＝am＋an；法二设出了a1，d但并没有求出a1，d.事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中是一种常用方法，它体现了整体求解的思想.,1．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15B．30C．31D．64,解析：方法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则由a7＋a9＝16得2a1＋14d＝16，由a4＝1，得a1＋3d＝1.∴两式相减得a1＋11d＝15，即a12＝15.方法二：∵7＋9＝4＋12，∴a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝a7＋a9－a4＝15.答案：A,等差数列的运算(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[思路点拨](1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．,[边听边记](1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.,方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.,(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.,,利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．,2．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．,,综合运用题,,(1)判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1－an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是利用整体代换的思想方法．(2)若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可．,3．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，已知各级的宽度成等差数列，试计算中间各级的宽度．解析：用{an}表示题中的等差数列．由已知条件得a1＝33，a12＝110，n＝12.设公差为d，则a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝33＋2×7＝47，…，a11＝33＋10×7＝103.∴中间各级的宽度分别为40cm,47cm,54cm，61cm，68cm，75cm，82cm,89cm,96cm,103cm.,◎已知两个等差数列{an}和{bn}，且{an}为2,5,8，…，{bn}为1,5,9，…，它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？【错解】由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的通项公式分别为：an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N*)，令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2.所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项．,【错因】本题所说的是数值相同的项，但它们的项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几项．,,高效测评知能提升,谢谢观看！