高中数学人教A版必修5课件：第2章 数列2.4 第1课时 等比数列

2．4等比数列第1课时　等比数列,自主学习新知突破,1．理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能应用，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系．3．掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题．,分析下面几个数列．(1)－1,1，－1,1，…；(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，…，263；(3)某人年初投资100000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为100000×1.05,100000×1.052，…，100000×1.055.,[问题1]上面数列是等差数列吗？[提示]不是．[问题2]以上数列中后项与前项的比有何特点？[提示]后项与前项的比值都相同．,等比数列的定义及通项公式,1．等比数列通项公式的理解(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．,定义：一般地，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____________，那么G叫做a与b的等比中项．这三个数满足关系式__________.等比中项等比数列G2＝ab,,,1．数列a，a，a，…，a，…(a∈R)必为()A．等差数列但不是等比数列B．等比数列但不是等差数列C．既是等差数列，又是等比数列D．以上都不正确解析：当a≠0时，该数列是等差数列，也是等比数列，当a＝0时，是等差数列，但不是等比数列，故选D.答案：D,2．在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8答案：A,3．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.,,,合作探究课堂互动,等比数列通项公式的运用在等比数列{an}中，[思路点拨]解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．,,,,等比数列基本量的求法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，方法一是常规解法，先求a1，q，再求an，方法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的方法．,1．在等比数列{an}中，(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.解析：(1)方法一：由a4＝a1·q3，得27＝a1·(－3)3，得a1＝－1，所以a7＝a1·q6＝(－1)×(－3)6＝－729.,,,等比数列的判定已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，试判断数列{an}是否是等比数列？[思路点拨]要判断此数列是否是等比数列，关键是用等比数列的定义，看其能否满足an与an－1之比为一常数，已知Sn＝2an＋1，以此来寻找an与an－1的关系．,,,2．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.判断数列{an－1}是否为等比数列？并说明理由．解析：数列{an－1}是等比数列．证明如下：∵a1＝2，an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)∴数列{an－1}是以1为首项，公比为2的等比数列．,等比中项的应用等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．,,,,,答案：(1)B(2)D,◎下面关于等比数列{an}和公比q的叙述中，正确的是()A．q>1⇒{an}为递增数列B．{an}为递增数列⇒q>1C．q>1⇔{an}为递增数列D．q>1⇒{an}为递增数列，且{an}为递增数列⇒q>1,【错解】在等差数列中，公差d的符号决定了数列的单调性，即d>0时{an}是递增数列，d<0时{an}是递减数列，d＝0时{an}是常数列．类似地，在等比数列中，公比q与1的相对大小也决定了数列的单调性，故选C.【错因】等比数列的单调性不但与q有关，还与a1有关．【正解】当a1>0，q>1或a1<0,0